重要的原函数和导函数

导数描述了函数变化的速率，而原函数则是已知导数逆过程的结果。本文将详细讨论一些重要的原函数和导函数，并深入分析它们之间的数学关系。

导数与原函数的定义

导数是表示函数变化率的一个量，通常通过极限的形式定义。假设函数为 \(f(x)\)，则导数 \(f'(x)\) 可以定义为：

\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \]

导数描述了函数在某一点附近的变化情况，也就是曲线的切线斜率。

原函数则是给定导函数的反向过程。如果函数 \(F(x)\) 的导数等于 \(f(x)\)，即 \(F'(x) = f(x)\)，则称 \(F(x)\) 是 \(f(x)\) 的一个原函数。对于一个函数，其原函数可以有无穷多个，互相相差一个常数项。

导数和原函数是互为逆运算的关系。也就是说，导数是求变化率，而原函数则是找到原始的函数形式。考虑原函数常数项的情况下，一个导函数有多个原函数。

幂函数

考虑幂函数 \(f(x) = x^n\)，其中 \(n\) 是任意实数。通过求导规则可以得到：

\[f'(x) = nx^{n-1} \]

对于其原函数，我们可以通过逆向的过程来找到：

\[\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad (n \neq -1) \]

这里的 \(C\) 是积分常数，反映出原函数的多样性。两个公式可互相印证。

我们可以通过对数微分法（即两侧同时取对数）来证明上述结论的适用性，这种方法同样适用于 \(n\) 为非整数的情况，比如 \(n = \frac{1}{2}\)（平方根）或 \(n = -1\)（即 \(f(x) = 1/x\)）。

有一种特殊形式，对于 \(f(x) = x^{-1} = \frac{1}{x}\)，它的原函数是：

\[\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C \]

这种特殊情况表明对数函数是幂函数的一种特殊形式。

指数函数

考虑指数函数 \(f(x) = e^x\)，它的一个显著特点是它的导数和自身相等（当然原函数也和自身相等）：

\[f'(x) = e^x \]

这一特性使得指数函数在微积分中极为重要。对于正数 \(a^x\) 的一般形式，其导数为：

\[f'(x) = a^x \ln(a) \]

\[\int f(x) dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \]

两者直接根据导数定义证明即可，非常简单，这里不再赘述。

对数函数

对数函数的导函数和原函数也是基础中的基础。考虑对数函数 \(f(x) = \ln(x)\)，它的导函数为：

\[f'(x) = \frac{1}{x} \]

而$ \frac 1x $本身不限制符号，其原函数为：

\[\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C \]

自然对数函数的定义域并不连续——在 \(x > 0\) 时定义，因此在原函数中引入了绝对值符号。证明仍只需导数定义。

其自身的原函数也较为常用：

\[\int \ln(x) dx = x\ln x - x + C \]

三角函数

正弦函数 \(f(x) = \sin(x)\) 和余弦函数 \(g(x) = \cos(x)\) 的导函数分别为：

\[f'(x) = \cos(x), \quad g'(x) = -\sin(x) \]

原函数：

\[\int \sin(x) dx = -\cos(x) + C \]

\[\int \cos(x) dx = \sin(x) + C \]

两组公式相互印证，证明可以通过导数定义和和差角公式推导得到。

正切函数 \(f(x) = \tan(x)\) 和余切函数 \(g(x) = \cot(x)\) 的导函数可以通过商的导数法则得出：

\[f'(x) = \sec^2(x), \quad g'(x) = -\csc^2(x) \]

而其原函数为：

\[\int \tan(x) dx = -\ln |\cos(x)| + C \]

\[\int \cot(x) dx = \ln |\sin(x)| + C \]

对于正割函数 \(f(x) = \sec(x)\) 和余割函数 \(g(x) = \csc(x)\)，它们的导数可以通过转换为 \(\cos(x)\) 和 \(\sin(x)\) 的表达式后，再通过换元法得到：

\[f'(x) = \sec(x) \tan(x), \quad g'(x) = -\csc(x) \cot(x) \]

对应的原函数为：

\[\int \sec(x) dx = \ln |\sec(x) + \tan(x)| + C \]

\[\int \csc(x) dx = \ln |\csc(x) - \cot(x)| + C \]

反三角函数

考虑三个反三角函数：反正弦函数 \(f(x) = \arcsin(x)\)，反余弦函数 \(g(x) = \arccos(x)\)，和反正切函数 \(h(x) = \arctan(x)\)。

它们的导函数分别为：

\[f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad g'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad h'(x) = \frac{1}{1+x^2} \]

这些导数可以通过反函数求导（如 $ x = \sin(y)$ ）的方式算出。

通常在微积分中不要求掌握反三角函数的原函数，但它们都可以通过分部积分的方法轻松求出，这里不再赘述。

双曲函数

考虑双曲正弦函数 \(\sinh(x)\) 和双曲余弦函数 \(\cosh(x)\)，它们的定义与导数分别为：

\[\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}, \quad \cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \]

\[\frac{d}{dx} \sinh(x) = \cosh(x), \quad \frac{d}{dx} \cosh(x) = \sinh(x) \]

可以看到，双曲正弦和双曲余弦函数的导数互为对方，这与正弦和余弦函数的关系非常相似（但符号有不同）。由于已有指数函数的导数，此证明非常简单。

相应的原函数也互为对方：

\[\int \sinh(x) dx = \cosh(x) + C, \quad \int \cosh(x) dx = \sinh(x) + C \]

\(\tanh(x)\) 和 \(\coth(x)\) 的导数与原函数和三角函数也有类似结果，由于使用不多，这里就不再讲解。

二次无理式

在积分中，二次无理式通常指包含二次项的根式的积分，比如形如 \(\sqrt{ax^2 + bx + c}\) 的函数。常见的二次无理式的积分通常通过配方法和三角代换来简化，方便求出原函数。

1. \(\sqrt{a^2 - x^2}\) 型：通常采用三角代换，令 \(x = a \sin \theta\)，简化无理式。

   \[\int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \arcsin \frac{x}{a} + C \]

2. \(\sqrt{x^2 - a^2}\) 型：可以用三角代换，令 \(x = a \sec \theta\) 或 双曲代换 \(x = a \cosh u\)，简化无理式。

   \[\int \sqrt{x^2 - a^2} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{x^2 - a^2} - \frac{a^2}{2} \ln \left| x + \sqrt{x^2 - a^2} \right| + C \]

3. \(\sqrt{a^2 + x^2}\) 型：采用三角代换 \(x = a \tan \theta\) 或 双曲代换 \(x = a \sinh u\) 简化无理式。

   \[\int \sqrt{a^2 + x^2} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^2 + x^2} + \frac{a^2}{2} \ln \left( x + \sqrt{a^2 + x^2} \right) + C \]

4. \(\frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}\) 型：这是一个典型的反三角函数形式，可以直接求解。

   \[\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} \, dx = \arcsin \frac{x}{a} + C \]

5. \(\frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}}\) 型：可以用三角代换，令 \(x = a \sec \theta\) 或 双曲代换 \(x = a \cosh u\)。

   \[\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} \, dx = \ln \left| x + \sqrt{x^2 - a^2} \right| + C \]

6. \(\frac{1}{\sqrt{a^2 + x^2}}\) 型：这类积分也可以通过反双曲函数或三角代换 \(x = a \tan \theta\) 求解。

   \[\int \frac{1}{\sqrt{a^2 + x^2}} \, dx = \ln \left( x + \sqrt{a^2 + x^2} \right) + C \]

总的来说，这里的记忆难度高，也不必强记。关键是记住如何换元。

常见的无法用初等函数表示原函数的函数

有一些函数的原函数存在，无法用初等函数（包括代数函数、指数函数、对数函数、三角函数及其反函数等）表示。这些积分需要引入特殊函数或者以非初等的形式表达。下面列举一些常见的无法用初等函数表示原函数的函数。

1. \(e^{-x^2}\)

   \[\int e^{-x^2} \, dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \text{erf}(x) + C \]

   其原函数 \(\text{erf}(x)\) 叫做误差函数，是一种特殊函数，无法用初等函数表示，广泛应用于概率论和统计学。实际上，\(e^{ax^2 + bx + c}\) 都不可求解

2. \(\frac {e^x}x\)

   \[\int \frac{e^x}{x} \, dx = \text{Ei}(x) + C \]

   其原函数定义为指数积分函数。

3. \(\sqrt{1 + x^3}\)

   高次无理积分通常无法通过初等函数表示，需要借助椭圆积分来表示。

4. $\frac{1}{\ln(x)} $

   \[\int \frac{1}{\ln(x)} \, dx = \text{Li}(x) + C \]

   这是对数积分函数（Logarithmic Integral Function），通常记为 \(\text{Li}(x)\)。

5. $\frac{\ln(x+1)}{x} $
   它的原函数也无法用初等函数表示

6. \(\frac{\sin(x)}{x}\)

   \[\int \frac{\sin(x)}{x} \, dx = \text{Si}(x) + C, \quad \int \frac{\cos(x)}{x} \, dx = \text{Ci}(x) + C \]

   这个原函数可以用 \(\text{Si}(x)\) 表示，叫正弦积分函数，同样是一种特殊函数。同理有余弦积分函数。\(\frac{\tan(x)}{x}\) 也无法用初等函数表示

7. \(\sin \frac 1x\)
   此函数和 \(\cos \frac 1x\) 的原函数也无法求初等函数解。

8. \(\sin(x^2)\)

   \[\int \cos(x^2) \, dx = C(x) + C, \quad \int \sin(x^2) \, dx = S(x) + C \]

   这类积分也无法用初等函数表示。它们分别定义为Fresnel积分。\(\tan(x^2)\) 也无法用初等函数表示

9. \(\frac{1}{x^x}\)
   这是一个涉及自变量的指数和底数的积分，不能用初等函数表示。该函数一般需要通过特殊函数或数值方法求解。