高效求解 n 个点之间的最大曼哈顿距离

平面上有 n 个点，如何求出任意两点的曼哈顿距离的最大值？

曼哈顿距离的公式为：

\[d((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = |x_1 - x_2| + |y_1 - y_2| \]

为了最大化曼哈顿距离，可以考虑绝对值展开的所有情况，我们可以考虑以下四个表达式：

对于点 $ (x_i, y_i) ) 和 ( (x_j, y_j) $，曼哈顿距离 $ |x_i - x_j| + |y_i - y_j| $ 可以转化为以下四种形式之一：

1. $ (x_i + y_i) - (x_j + y_j) $
2. $ (x_i - y_i) - (x_j - y_j) $
3. $ -(x_i + y_i) + (x_j + y_j) $
4. $ -(x_i - y_i) + (x_j - y_j) $

那么我们只需要跟踪这两个表达式的最大值和最小值：

1. $ f_1(x, y) = x + y $
2. $ f_2(x, y) = x - y $

对于每个表达式，我们可以找到其最大值和最小值，然后计算这些最大值和最小值之间的差值。

1. 初始化四组变量，用来记录上述四个表达式的最大值和最小值：

   • $ \text{max1} = \text{min1} = x_1 + y_1 $
   • $ \text{max2} = \text{min2} = x_1 - y_1 $

2. 遍历所有点 \((x_i, y_i)\)，更新这四个值

3. 计算两组差值的最大值：

   • $ d1 = \text{max1} - \text{min1} $
   • $ d2 = \text{max2} - \text{min2} $

   两个值实际上代表了所有四种绝对值展开的情况，几何上即线段从左下到右上和从左上到右下的两种情况。

4. 曼哈顿距离的最大值就是最大值：

   \[\text{max_distance} = \max(d1, d2) \]

这个算法的时间复杂度为 $ O(n) $，因为只需遍历所有点一次即可完成所有更新和计算。

int maxManhattanDistance(const vector<pair<int, int>>& points) {
    int max1 = INT_MIN/2, min1 = INT_MAX/2;
    int max2 = INT_MIN/2, min2 = INT_MAX/2;
    
    for (const auto& point : points) {
        int x = point.first;
        int y = point.second;
        
        // 更新 max1 和 min1
        int f1 = x + y;
        max1 = max(max1, f1);
        min1 = min(min1, f1);
        
        // 更新 max2 和 min2
        int f2 = x - y;
        max2 = max(max2, f2);
        min2 = min(min2, f2);
    }
 
    int d1 = max1 - min1;
    int d2 = max2 - min2;
 
    return max(d1, d2);
}
 
int main() {
    // 示例输入
    vector<pair<int, int>> points = {{1, 2}, {3, 4}, {6, 1}, {-1, -3}};
 
    int maxDistance = maxManhattanDistance(points);
    cout << "Maximum Manhattan Distance: " << maxDistance << endl;
 
    return 0;
}