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　　　　　　　　　　　　　　　　　常见函数讲解1：欧拉函数

2017年08月23日 20:56:05 阅读数：562 标签：数学函数 OI 数论更多

前言

作者在OI生活早期的时候，经常遇到一些数学题不会，点开题解发现许多跟数论上的函数有关，题解的语言又晦涩难懂，从此对数学心有余悸，相信许多OIer也同样是如此。这几篇博客，作者将对OI数论中常出现的几个函数进行解读，希望读者能解开对数学的心结。

积性函数

概念

积性函数是对数论中一系列有特殊性质函数的统称，性质如下：

若 g c d (a, b) = 1, f (a b) = f (a) f (b), 那 么 f 则 是 积

特别地，假如对于任意的a、b，即

g c d (a, b) \neq 1

小扩展

一个有趣的事实：

对 于 函 数 g (n) = \sum d | n f (d), 如 果 g 是 积 性

g c d (a, b) \neq 1

常见积性函数

1、 $e (n) = [n = 1]$

2、 $i d (n) = n$

3、 $1 (n) = 1$

4、 $φ (n) = \sum_{i = 1}^{n} [g c d (i, n) = 1]$

5、 $μ (n) = {_{(- 1)^{k}, n = \prod_{i = 1}^{k} p_{i}}^{0, \exists d > 1, d^{2} | n}$

小结

积性函数在数论中十分常见，一个函数假如有积性那么就多了许多解析的方法，在你涉（shua）猎（ti）的数值达到一定量的时候会发现积性是个亲切的东西，比如我们可以利用欧拉函数和莫比乌斯函数的积性来进行线性筛，O(n)时间求得所有欧拉函数、莫比乌斯函数值。

欧拉函数

注：阅读以下内容时请拿出笔和纸，下面涉及的计算量比较大，用笔算一算将助于理解。

概念

正如上一节所述，欧拉函数 $φ (n)$

φ (n) = \sum i = 1 n [(g c d (i, n) = 1]

基本性质

1.对于一个质数p， $φ (p) = p - 1.$

证明：根据质数的定义，对于任意一个不是p倍数的正整数x，总有 $g c d (p, x) = 1$

2.对于一个质数p， $φ (p^{k}) = p^{k} - p^{k - 1} = p^{k - 1} \times (p - 1) = p^{k - 1} \times φ (p)$

证明：我们知道，在1~p之间与p不互质的数共1个，在1~2 $\times$

3.对于一个数n，我们将其质因数分解为n= $\prod_{i = 1}^{k} p_{i}^{r_{i}}$ $φ (n) = \prod i = 1 k φ (p r i i) = \prod i = 1 k p r i - 1 \times (p$ $\prod_{i = 1}^{k} p_{i}^{r_{i}}$

证明：由于欧拉函数有积性， $φ (a b) = φ (a) φ (b)$

\prod i = 1 k p r i \times (1 - 1 p i ) = ( \prod i = 1 k p r i ) \times (

g c d (a, b) \neq 1

扩展性质

1.假如a，b不互质，那么 $φ (a b)$

结 论 ： 令 d = g c d (a, b) ， 则 φ (a b) = φ ( a ) φ ( b ) d

证明：

将a、b、d质因数分解成

a = \prod i = 1 m p r 1 i i ， b = \prod i = 1 m p r 2 i i

g c d (a, b) \neq 1

a \times b = \prod i = 1 m p r 1 i + r 2 i i

g c d (a, b) \neq 1

φ (a) = \prod i = 1 m φ (p r 1 i i) ， φ (b) = \prod i = 1 m φ (

g c d (a, b) \neq 1

\prod i = 1 m φ (p r 1 i + r 2 i i) = \prod m i = 1 φ ( p

g c d (a, b) \neq 1

左 边 = \prod i = 1 m p r 1 i + r 2 i - 1 i (p i - 1)

右 边 = \prod m i = 1 p r 1 i - 1 i ( p i - 1 ) \times \prod m i = 1

= \prod i = 1 m p r 1 i - 1 i ( p i - 1 ) \times p r 2 i - 1

g c d (a, b) \neq 1

2.对于任意正整数n， $φ (n)$

结 论 ： n = \sum d | n φ (d) .

证明：
我们不妨换个角度思考一下。

我们知道 $n = \sum_{i = 1}^{n} 1$

换句话说，我们本来想统计 $\sum_{i = 1}^{n} f (n, i)$

于是，现在的关键变成了寻找这个特殊的 $f (n, i) .$

我们知道，在1~n中的每一个i，它与n的最大公约数有且仅有一个，且最大公约数一定在1~n这个范围之内。我们可以令 $f (n, i) = [g c d (n, i) = d]$

也就是：

n = \sum i = 1 n 1 = \sum d = 1 n \sum i = 1 n [g c d (n, i) = d] .

其中d枚举的是最大公约数，i枚举的是1~n中的每一个i， $f (n, i) = [g c d (n, i) = d]$

其实我们发现，d的取值一定是n的约数，并不需要枚举1~n中的所有数，所以有：

n = \sum d = 1 n \sum i = 1 n [g c d (n, i) = d] = \sum d | n \sum i = 1

对上面第三个式子进一步转化：

\sum d | n \sum i = 1 n [g c d (n, i) = d] = \sum d | n \sum i = 1 n

观察上面第二个式子，之所以转化成这么鬼畜的东西是因为第一个式子中 $[g c d (n, i) = d]$

转化到这里，细心的读者估计也发现了，第二个式子中 $\frac{i}{d}$

至此，我们便将原式转化成：

n = \sum d | n \sum i = 1 n [g c d (n d , i d ) = 1 ] \times [ d | i ]

得证。

其实还有一种有趣的证明，我会在后面连同上面积性函数小扩展的证明一同发布一篇博客。

欧拉函数求法

1.质因数分解.

假如我们只想求解1个或者少量正整数的欧拉函数，那么

根据基本性质3，

φ (n) = n \times \prod i = 1 k (1 - 1 p i ) = n \times \prod i = n k ( p i - 1 )

我们可以把n质因数分解，然后带入上述第三个式子求得。时间复杂度O( $\sqrt{n}$

int get_phi(int n){
    int back = n;
    for(int p = 2; p*p <= n; ++ p){
        if(n%p == 0){
            back = back/p*(p-1);
            while(n%p == 0)
                n /= p;
        }
    }
    if(n != 1)
        back = back/n*(n-1);

    return back;
}

2.线性筛

注：默认读者已经掌握线性筛质数.

假如想要求1~n范围内所有数的欧拉函数，那么上面的质因数分解法的复杂度会高达 $O (n \sqrt{n})$

由于欧拉函数有积性，所以结合扩展性质1：

令 d = g c d (a, b) ， 则 φ (a b) = φ ( a ) φ ( b ) d φ ( d ) .

我们可以通过线性筛质数，在筛出合数 $x \times p r i_{j}$

不过，需要分2种情况计算：

x与 $p r i_{j}$

这种情况比较简单。由于 $d = 1$
$φ (x \times p r i j) = φ (x) \times φ (p r i j)$ 直接计算即可。
x与 $p r i_{j}$
$φ (x \times p r i j) = φ ( x ) φ ( p r i j ) p r i j φ ( p r i j ) = φ ( x ) \times p$
带入计算即可。

bool vis[1000005];
int tot=0, pri[1000005], phi[1000005];

void Get_phi(int N){
    phi[1] = 1;
    for(int i=2; i<=N; ++i){
        if(!vis[i]){
            pri[++tot] = i;
            phi[i] = i-1;
        }
        for(int j=1,x; j<=tot&&(x=i*pri[j])<=N; ++j){
            vis[x] = true;
            if(i%pri[j] == 0){
                phi[x] = phi[i]*pri[j];
                break;
            }
            else phi[x] = phi[i]*phi[pri[j]];
        }
    }
}

小结

欧拉函数的讲解就先告一段落，其实欧拉函数与其它的函数甚至定理有许多关联的地方，我将在今后为大家讲解。假如有地方没有听懂，随时欢迎骚扰。

posted on 2018-08-23 11:04 ystraw 阅读(519) 评论(0) 编辑收藏举报