11-1,5,11,12的倍数(容斥原理)

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64bit IO Format: %lld

题目描述

给出一个数n，求1到n中，有多少个数不是2 5 11 13的倍数。

输入描述:

本题有多组输入
每行一个数n，1<=n<=10^18.

输出描述:

每行输出输出不是2 5 11 13的倍数的数共有多少。

示例1

输入

15

输出

4

说明

1 3 7 9

容斥原理的描述如下：

要计算几个集合并集的大小，我们要先将单个集合的大小计算出来，然后减去两个集合相交的部分，再加回三个集合相交的部分，再减去四个集合相交的部分，以此类推，一直计算到所有集合相交的部分。

所以这个题目要求的是不是2 5 11 13的倍数，可以求是2 5 11 13的倍数之后，再减去即可。

这样就会用到容斥原理，先求仅仅只是整除2, 5 , 11, 13的数量，再减去整除了它们之间两两的乘积的数量，再加上整除它们三个之间的乘积的数量，再加上整除四个的数量。

而这个数量也很有意思，1到num中整除c的数量正是num/c的值: 例如1,2，p,..2p, ..3p...4p..xp..n;易知1到n中能整除p的都是P的倍数，即为1倍,2倍等等，所以符合要求的倍数个数为x个，有xp <= n 所以 x = n / p （取整）.

    #include<iostream>  
    #include<cstdio>  
    #include<algorithm>  
    using namespace std;  
    typedef long long ll;  
      
    int main()  
    {  
        ll n,t; 
        while(scanf("%lld", &n) != EOF){
		 	t=0;  
            t += n / 2;  
            t += n / 5;  
            t += n / 11;  
            t += n / 13;  
            t -= n / 2 / 5;  
            t -= n / 2 / 11;  
            t -= n / 2 / 13;  
            t -= n / 5 / 11;  
            t -= n / 5 / 13;  
            t -= n / 11 / 13;  
            t += n / 2 / 5 / 11;  
            t += n / 2 / 5 / 13;  
            t += n / 2 / 11 / 13;  
            t += n / 11 / 5 / 13;  
            t -= n / 2 / 5 / 11 / 13;
			printf("%lld\n",  n - t);
		}             
        return 0;  
    }