几何建模（二）

BREP和CSG

  几何建模技术在很大程度上彻底改变了产品的设计和制造。尽管有多种表示对象的方法，但最常用的建模技术是实体建模。边界表示建模和构造实体几何建模是表达实体模型的两种主要方法。

  BREP:Boundary Representation，边界表示法;
  CSG:Constructive Solid Geometry，结构实体几何;

1、边界表示法

  边界表示（Boundary Representation）也称为BRep表示，它是几何造型中最成熟、无二义的表示法。实体Solid用一组封闭的面组成，而每个面又由它所在的曲面的定义加上其边界来表示，面的边界是边的并集，而边又是由点来表示的。
  边界表示的一个重要特征是描述形体的信息包括几何信息（Geometry）和拓朴信息（Topology）两个方面。拓朴信息描述形体上的顶点、边、面的连接关系，它形成物体边界表示的“骨架”。形体的几何信息犹如附着在“骨架”上的肌肉。例如，形体的某个面位于某一个曲面上，定义这一曲面方程的数据就是几何信息。此外，边的形状、顶点在三维空间中的位置（点的坐标）等都是几何信息，一般来说，几何信息描述形体的大小、尺寸、位置和形状等。
  在边界表示法中，边界表示就按照体－面－环－边－点的层次，详细记录构成形体的所有几何元素的几何信息及其相互连接的拓朴关系。这样，在进行各种运算和操作中，就可以直接取得这些信息。

2、结构实体几何

  CSG含有一组简单的几何实体类型，如立方体、球、圆柱、圆锥等。它们称为基元实体类型（Primitive Solid Type）。CSG还含有一组施加于基元实体类型上的操作，这些操作包括：几何变换、集合运算以及剖割、局部修改等其他造型操作。这是用二叉树的形式记录一个零件的所有组成体素拼合运算的过程，可以简称为体素拼合树。这里所强调的是记录各个体素在进入拼合时的原始状态，而前面边界表示法则强调记录每次拼合后的离散结果。CSG可以通过操作，将基元实体组织成各种复杂的形状，满足设计的需要。如下图所示。

  CSG树只定义了它所表示的构造方式，既不反映物体的面、边、顶点等有关边界信息，也不显式说明三维点集与所表示的物体在实际空间的一一对应关系。因此，这种表示又被称为物体的隐式模型(unevaluated model)或过程模型(procedural model)。
  用CSG树表示一个复杂形体非常简单。它所产生的物体的有效性是由基本体素的有效性和集合运算的正规细致感自动保证的。它可以惟一地定义一个物体，并支持对这个物体的一切几何性质计算。
  发展CSG法的突出代表是美国罗切斯特(Rochester)大学以沃尔克(Voelcher HB)教授为首的生产自动化课题组及其研制的PADL系统。PADL的全称是Part and Assembly Description Language，从1972年开始研制，主要成员有雷奎卡(Requicha AAG)等。1976年后向外扩散称为PADL 1.0版。系统内使用两种体素，即立方体和圆柱体，其中圆柱体的主轴限定必须平行于一个坐标轴。体素的操作算子有６种，即平移、旋转、并、交、差、装配。由于系统可以提供源程序和全套文档，而且对于美国国内非盈利的教育单位只收极低的磁带复制和资料成本费，所以到1981年已有40多个学校和公司接受了这一系统，其中包括美国的通用汽车公司和英国的利兹(Leeds)大学。1982年推出PADL 2.0试用版，这是由美国国家科学基金会、罗切斯特大学和工业界10家公司，如波音民用飞机公司、DEC、Tektronix、Eastman Kodak、McAuto、Calma等共同投资或提供人员研制的。系统功能有了很大的扩充和完善，例如圆柱体体素允许任意旋转，并且增加了斜线、球、圆锥、圆环等新的体素，可以计算几何类型系，输出消隐的线框图和彩色明暗图，模拟三维坐标铣切加工，产生八叉树和边界表示文件，提供IGES(Initial Graphical Exchange Specification，初始图形交换规范)高接口等。程序绝大部分用扩展的FORTRAN语言FLECS编写，经预处理后翻译成FORTRAN 77，个别部分用C语言编写。
  PADL 2.0曾被麦道公司、Calma、Auto-rol公司等纳入自己的商品化CAD系统中，AutoCAD 12.0版至今还在使用PADL 2作为实体造型模块。通用汽车公司利用PADL的技术开发了供自己内部使用的GM Solid系统。PADL中创建的集合运算分类方法也为我国自行研制的实体造型系统所采用。1986年后PADL研制组转移到康奈尔(Cornell)大学。
  沃尔克和雷奎卡在研制PADL的过程中力求为实体造型技术建立一个严密、完整的理论体系，使得程序的算法可以形式化描述，有坚实的理论基础。