\(K_0(M_n)=\mathbb{Z}\)所携带的信息只是矩阵的秩，所以自同构经过\(K_0\)函子之后变成了恒等映射。\(\mathcal{D}(B(H))\)本来携带着线性算子的秩，可是经过格罗滕迪克过程之后全都消失了，\(K_0\)函子把\(B(H)\)及其自同态全部变成了0。因此具有消去律就显得很重要了。每一个稳定秩为1的\(C^\ast\)代数都有消去律，但是稳定有限的\(C^\ast\)代数就不一定有消去律了。
\(D(A)\)是投影之集，\(K_0(A)\)是投影对之集。
