1. 定积分
当函数$f(x)$是区间$[-a,a]$上的奇函数时，$$\int^a_{-a}f(x)\mathrm{d}x=0,$$当函数$f(x)$是区间$[-a,a]$上的偶函数时，$$\int^a_{-a}f(x)dx=2\int^a_{0}f(x)\mathrm{d}x.$$
2. 二重积分
(1) 区域$D$关于原点对称
当$-f(x,y)=f(-x,-y)$时，$$\iint_Df(x,y)\mathrm{d}\sigma=0,$$
当$f(x,y)=f(-x,-y)$时，$$\iint_Df(x,y)\mathrm{d}\sigma=2\iint_{D_1}f(x,y)\mathrm{d}\sigma,$$
其中$D_1$是用过原点的直线将$D$分为两半之后的其中一半。
(2) 区域$D$关于$x$轴对称
当$f(x,-y)=-f(x,y)$时
$$\iint_Df(x,y)\mathrm{d}\sigma=0,$$
当$f(x,-y)=f(x,y)$时，$$\iint_Df(x,y)\mathrm{d}\sigma=2\iint_{D_1}f(x,y)\mathrm{d}\sigma,$$
其中$D_1$是$D$位于上半平面的部分。
(3) 区域$D$关于$y$轴对称
当$f(-x,y)=-f(x,y)$时
$$\iint_Df(x,y)\mathrm{d}\sigma=0,$$
当$f(-x,y)=f(x,y)$时，$$\iint_Df(x,y)\mathrm{d}\sigma=2\iint_{D_1}f(x,y)\mathrm{d}\sigma,$$
其中$D_1$是$D$位于右半平面的部分。
例1 计算$\displaystyle\iint_\Sigma(x+y+z)\mathrm{d}S$，其中$\Sigma$为上半球面$x^2+y^2+z^2=R^2 (z\geq0)$。
解 $\Sigma$的方程可化为$z=\sqrt{R^2-x^2-y^2}$，由此得
$$z_x(x,y)=\frac{-x}{\sqrt{R^2-x^2-y^2}}, \quad z_y(x,y)=\frac{-y}{\sqrt{R^2-x^2-y^2}}.$$
设$\Sigma$在$xoy$平面的投影区域为$D$，则
$$\iint_\Sigma(x+y+z)\mathrm{d}S= \iint_D(x+y+\sqrt{R^2-x^2-y^2})\frac{R}{R^2-x^2-y^2}\mathrm{d}\sigma=\iint_D\frac{R}{\sqrt{R^2-x^2-y^2}}\mathrm{d}\sigma=\int^{2\pi}_0\mathrm{d}\theta\int^{R}_0\frac{R\rho}{\sqrt{R^2-\rho^2}}\mathrm{d}\rho=\pi R^3.$$
