摘要： 设$X$是局部紧Hausdorff空间, $\mathscr{O}$是$X$的一个基, $\mathscr{C}$是$\mathscr{O}$中的有紧闭包的集合组成的$\mathscr{O}$的子族. 则$\mathscr{C}$也是$X$的一个基. 证明： 对于任意的$x\in X$, 有紧邻域$ 阅读全文

摘要： 紧空间中的网一定有收敛子网. 证明： 设$X$是紧空间, $\{x_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}$是$X$中的网. 对于任意$\lambda\in\Lambda$, 定义$E_\lambda=\{x_\gamma: \lambda\preceq\gamma\}$, $F 阅读全文

摘要： 显然矩阵乘积的行列式是各自行列式的乘积，因此行列式是矩阵乘法半群的表示。表示将不同的对象联系起来。行列式将矩阵和数字联系起来。数字分为0和非0，对应（双边对应）着矩阵分为不可逆和可逆。但是这个表示一方面不是双射，另一方面不是代数表示（和的行列式显然不一定等于行列式的和），所携带的信息比较少。除了可逆 阅读全文

摘要： 这里的y和x可以是向量，例如： 阅读全文

摘要： $$\left\{\begin{aligned}&\cos (x_3) \sin (x_2) \sin (x_1)-\sin (x_3) \cos (x_1)=-0.9944 \\&\sin (x_3) \sin (x_2) \sin (x 1)+\cos (x_3) \cos (x_1)=-0.0 阅读全文

摘要： rand 函数的用法 rand(n) 返回$n\times n$随机矩阵, 其元素在区间$(0,1)$内; rand(m,n) 或 rand([m n]) 返回一个$m\times n$的随机矩阵; rand(m,n,p,...) 或 rand([m n p...]) 产生随机数组; rand(si 阅读全文

摘要： 设$A=C_0(\mathbb{R}), f(x)=\frac{1}{x^2+1}\in A$, 如果存在$g(x)$使得$f(x)g(x)f(x)=f(x)$, 那么$g(x)=\frac{1}{f(x)}=x^2+1\notin A$. 因此$f\notin fAf$. 阅读全文

摘要： 定理（Urysong引理）[1] 设$X$是局部紧Hausdorff空间，$K\subset U\subset X$，且$K$是紧集，$U$是开集，则存在$X$上的连续函数$f$在$K$上取值为1，在$U$的某个紧子集的外面取值为0。 推论 设$X$是局部紧Hausdorff空间，$K$是$X$中的 阅读全文

摘要： 设$A$是Hausdorff空间$X$中的非空集合，则$A$是开集当且仅当对于任意的$a\in A$，若网$\{a_\lambda\}$收敛到$a$，则存在子网$\{b_\lambda\}\subset A$。 证明. 设对于任意的$a\in A$，若网$\{a_\lambda\}$收敛到$a$，则 阅读全文

摘要： 1. 定积分 当函数$f(x)$是区间$[-a,a]$上的奇函数时， $$\int^a_{-a}f(x)\mathrm{d}x=0,$$ 当函数$f(x)$是区间$[-a,a]$上的偶函数时， $$\int^a_{-a}f(x)dx=2\int^a_{0}f(x)\mathrm{d}x.$$ 2. 二重积 阅读全文