函数的周期性

公式定理💯随心记

【实数指数幂的运算法则】$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$；$(a^m)^n=(a^n)^m=a^{mn}$；$(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$；$(\cfrac {a}{b})^n=\cfrac {a^n}{b^n}=a^n\cdot b^{-n}$；($a>0$，$b>0$，$m，n\in R$)

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前言

当你学习了本篇博文后，如果感觉还需要深入学习，可以阅读函数的奇偶性周期性习题；

周期概念

(1). 周期函数：对于函数 $y＝f(x)$，如果存在一个非零常数 $T$，使得当 $x$ 取定义域内的任何值时，都有 $f(x+T)$$=$$f(x)$，那么 ^[1] 就称函数 $y＝f(x)$ 为周期函数，称 $T$ 为这个函数的周期。

比如，函数 $y=f(x)=\sin x$，由于 $x\in R$，则 $x+4\pi\in R$，且对任意 $x$ 都满足 $\sin(x+4\pi)=\sin x$，故 函数 $y$$=$$f(x)$$=$$\sin$$x$ 是周期函数，$4\pi$ 为它的一个周期。

(2). 最小正周期：如果在周期函数 $f(x)$ 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 $f(x)$ 的最小正周期。

理解概念中的关键词，知道有些函数如 $f(x)$$=$$2^x$ 不是周期函数，有些函数仅有正周期如 $f(x)$$=$$sinx$，$x\in[0，+\infty)$ 或者仅有负周期；

常函数 $f(x)$$=$$c$($c$ 为常数) 没有最小正周期，如 $f(x)=c$ ，则 $f(x+T)$$=$$c$ ，此时的 $T$ 没有最小的正数。

函数的周期性从数上理解，是说函数的自变量 $x$ 增加 $T$ 后，函数值重复出现；从形上理解，是说函数的图象左右平移 $T$ 后，函数的图象和原图象重合。

常见方式

• 以图像的形式给出；

解读图像，从图像中我们就可以找出周期 $T$。

• 以周期的定义式给出；

常见定义式：$f(x+4)=f(x)\Longrightarrow T=4$

定义式的常见变形：$f(x+2)=f(x-2)$ 或者 $f(x+3)=f(x-1) \Longrightarrow T=4$

函数 $f(x+1)$ 是周期为 $2$ 的周期函数，故 $f(x)$ 也是周期为 $2$ 的周期函数，又或函数 $f(x)$ 是周期为 $2$ 的周期函数，则 $f(x+1)$ 也是周期为 $2$ 的周期函数，

• 以周期性的结论给出 (不妨设 $a>0$)；

结论 1：$f(x+a)=-f(x)$ 或者变形 $f(x+a)+f(x)=0\Longrightarrow T=2a$；推导：^[2]

引申 1：$f(x+a)=b-f(x)$ 或者变形 $f(x+a)+f(x)=b\Longrightarrow T=2a$；推导：^[3]

结论 2：$f(x+a)=\cfrac{k}{f(x)}(k\neq 0)$ 或者变形 $f(x+a)\cdot f(x)=k \Longrightarrow T=2a$；推导：^[4]

• 以三个连续自变量的形式给出，有点类似反斐波那契数列。

给出表达式：$f(x+2)$$=$$f(x+1)$$-$$f(x)\Longrightarrow f(x+3)=-f(x)\Longrightarrow T=6$；推导：^[5]

• 以奇偶性和对称性结合形式给出周期性；

引例，已知函数 $f(x)$ 是奇函数，且满足 $f(2-x)=f(x)$，则可知函数的周期 $T=4$；推导：^[6]

• 以轴对称和中心对称结合形式给出周期性；

引例，已知函数 $f(x)$ 的图像关于点 $(3,0)$ 对称，且满足 $f(2-x)=f(x)$，则可知函数的周期 $T=8$；推导：^[7]

• 以和为定值的方式给出；

引例，函数 $f(x)$ 满足 $f(x)+f(x+1)+f(x+2)$ 为定值 $a$，则函数 $f(x)$ 为周期函数；^[8]

其他方式

• 分段函数的部分周期性

如已知 $f(x)$ 的定义域为 $R$，且 $f(x)=\begin{cases}2^{-x}-1，&x\leq 0 \\f(x-1)，&x>0\end{cases}$，

则函数在 $x<0$ 上没有周期性，但是在 $x>0$ 上有周期性，周期是 $T=1$，

• 以赋值法的模式给出

比如表达式：$f(x+6)=f(x)+f(3)$，且 $f(x)$ 为偶函数，$\Longrightarrow T=6$(赋值法)；^[9]

• 以赋值法 [更难] 的模式给出

引例：已知函数 $f(x)$ 满足 $f(1)=\cfrac{1}{2}$，且 $f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)$，求 $f(0)+f(1)+$ $f(2)+$ $\cdots+$ $f(2016)$ 的值。^[10]

• 以综合表达式的形式给出；

比如给出 $f(x+2)=\cfrac{1}{2}f(x)$，意味着周期性和伸缩性同时起作用。

• 以新定义和函数的迭代形式给出：

【2020 届宝鸡质检 2 文数第 16 题】若 $f(n)$ 为 $n^2$$+$$1$($n$$\in$$N^*)$ 的各位数字之和，如 $14^2$$+$$1$$=$$197$，则 $f(14)$$=1$$+$$9$$+$$7$$=$$17$；记 $f_1(n)$$=$$f(n)$，$f_2(n)$$=$$f(f_1(n))$，$f_3(n)$$=$$f(f_2(n))$，$\cdots$，$f_{k+1}(n)$$=$$f(f_k(n))$，$k∈N^*$，则 $f_{2020}(8)$= _________ .

分析：本题目属于新定义题目，融合考查函数的周期性；

由题目的定义可知，$f(8)$ 表示的是 $8^2+1$ 的各位数字之和，

由于 $8^2+1=65$，则 $f(8)=6+5=11$，这样 $f_1(8)=f(8)=6+5=11$，

由于 $11^2+1=122$，则 $f(11)=1+2+2=5$，故 $f_2(8)=f(f_1(8))=f(11)=1+2+2=5$，

由于 $5^2+1=26$，则 $f_3(8)=f(f_2(8))=f(5)=2+6=8$，

由于 $8^2+1=65$，故 $f_4(8)=f(f_3(8))=f(8)=6+5=11$，

由于 $11^2+1=122$，故 $f_5(8)=f(f_4(8))=f(11)=1+2+2=5$，

故函数 $f_n(8)$ 的周期 $T=3$，$f_{2020}(8)=f_{673\times 3+1}(8)=f_1(8)=f(8)=11$;

故答案为 $11$.

数列周期

• 由于数列是特殊的函数，故数列的周期推导过程其实也与函数的周期推导是一致的。

比如数列 $\{a_n\}$ 满足关系：$a_{n+2}=a_{n+1}-a_n$，则可以推出数列的周期 $T=6$；

解释：$f(n+2)=f(n+1)-f(n)\Longrightarrow f(n+3)=-f(n)\Longrightarrow T=6$

另类应用既然图像的左右平移可能会体现周期性，那么当我们需要函数图像左右平移时，自然也可以使用周期性来刻画，从而实现形向数的转化。

比如，写出一个图象关于直线 $x＝2$ 对称且在 $[0, 2]$ 上单调递增的偶函数 $f(x)$＝___________．

详析： 由 $[0, 2]$ 上单调递增，借助几何直观，我们会想到做一条线段，最简单的如 $y=x$ ，又由于图象关于直线 $x＝2$ 对称，故在 $[2, 4]$ 上做线段 $y=4-x$，又由于是偶函数，则将 $[0, 4]$ 上的图像关于 $y$ 轴对称到 $[-4, 0]$ 上，即得到了满足题意的函数图像的大致图样，但问题随之来了，怎么用解析式来刻画这个函数呢，硬着头皮上，将我们刚才想到的图像数字化，比如 $[0, 4]$ 上可以用两个分段函数组合，比如 $y=x,x\in [0,2]$ 和 $y=4-x,x\in(2,4]$，其中 $[-4,0)$ 上利用对称求得解析式即可，最后用四段的分段函数表达即可，但我们感觉拉跨，此时可以观察 $[0, 4]$ 上的图像是 绝对值函数 $y=|x|$ 倒扣加上平移得到的，故想到 $x\in[0,4]$ 时，$y=2-|x-2|$，那么 $x\in[-4,0)$ 上可以利用 $y=f(-x)$ 来表达，但问题又来了，函数不满足对称性，因为是定义在 $[-4,4]$ 上的，并不关于 $y=2$ 对称，我们需要将基本图像 ($[0，4]$ 这一段上的图像) 向左右按周期的整数倍无限延伸才行，故采用周期的表达即可，

故得到满足题意的函数为 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}2-|x-2|，&x\in[0,4]\\f(x-4)，&x>4\\f(x+4)，&x<-4\end{array}\right.$

周期补遗

• 以下的给出方式，极其少见，仅仅作整理之用，不需要太过理会。

① 已知 $f(x+a)=\cfrac{1-f(x)}{1+f(x)}$，则周期为 $T=2a$；

[推导过程]：由于 $f(x+a)=\cfrac{1-f(x)}{1+f(x)}$，

故 $f(x+2a)=f[(x+a)+a]=\cfrac{1-f(x+a)}{1+f(x+a)}=\cfrac{1-\frac{1-f(x)}{1+f(x)}}{1+\frac{1-f(x)}{1+f(x)}}$

$=\cfrac{[1-\frac{1-f(x)}{1+f(x)}][1+f(x)]}{[1+\frac{1-f(x)}{1+f(x)}][1+f(x)]}=f(x)$，故 $T=2a$；

② 已知 $f(x+a)=\cfrac{1+f(x)}{1-f(x)}$，则周期为 $T=4a$；[其实若能赋值验证，比下面的推导更简单]

[推导过程]：由于 $f(x+a)=\cfrac{1+f(x)}{1-f(x)}$，

故 $f(x+2a)=f[(x+a)+a]=\cfrac{1+f(x+a)}{1-f(x+a)}=\cfrac{1+\frac{1+f(x)}{1-f(x)}}{1-\frac{1+f(x)}{1-f(x)}}$

$=\cfrac{[1+\frac{1+f(x)}{1-f(x)}][1-f(x)]}{[1-\frac{1+f(x)}{1-f(x)}][1-f(x)]}=\cfrac{2}{-2f(x)}=-\cfrac{1}{f(x)}$，

故 $f(x+4a)=f[(x+2a)+2a]=-\cfrac{1}{f(x+2a)}=-\cfrac{1}{-\frac{1}{f(x)}}=f(x)$，故 $T=4a$；

③ 已知 $f(x+a)=-\cfrac{1-f(x)}{1+f(x)}$，则周期为 $T=4a$；

提示：仿上自己证明；

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1. 如果 $\cdots$，那么 $\cdots$ 句式，说明不是所有的函数都满足 $f(x+T)=f(x)$，即有些函数不是周期函数，比如指数函数 $f(x)=2^x$。 ↩︎

2. 【常见结论 1 推导过程】：
   由题目可知，$f(x+a)=-f(x)$，则 $f(x+2a)=f[(x+a)+a]$
   $\xlongequal [整体代换]{用 x+a 代换已知式中的 x}-f (x+a)\xlongequal [代换]{用已知 f (x+a)=-f (x)}-[-f (x)]=f (x)$
   从而，$\Longrightarrow T=2a$。 ↩︎

3. 【常见结论 1 的引申推导】：
   $f(x+2a)=f[(x+a)+a]=b-f(x+a)=b-[b-f(x)]=f(x)\Longrightarrow T=2a$
   具体例子，$f(x)+f(x+4)=16$，周期 $T=8$。 ↩︎

4. 【常见结论 2 推导过程】：
   $f(x+2a)=f[(x+a)+a]=\cfrac{k}{f(x+a)}=\cfrac{k}{\cfrac{k}{f(x)}}= f(x)$
   从而，$\Longrightarrow T=2a$ ↩︎

5. 【三个连续自变量的形式推导过程】
   由已知 $f(x+2)=f(x+1)-f(x)①$，
   用 $x-1$ 代换 $x$，得到由此得到 $f(x+1)=f(x)-f(x-1)②$，
   ①②两式相加得到 $f(x+2)=-f(x-1)$，
   即 $f(x+3)=-f(x)$，故周期为 $T=6$， ↩︎

6. 分析：则由 $\begin{align*} f(2-x)&=f(x)\\- f(-x)&= f(x)\end{align*}\Bigg\}$
   $\Longrightarrow f(2-x)=-f(-x)\Longrightarrow f(2+x)=- f(x)\Longrightarrow$ 周期 $T=4$ ↩︎

7. 分析：由函数 $f(x)$ 的图像关于点 $(3,0)$ 对称，即有 $f(x)+f(6-x)=0$，
   则由 $\begin{align*} f(x)&=f(2-x)\\ f(x)&=-f(6-x)\end{align*}\Bigg\}$$\Longrightarrow f(2-x)=-f(6-x)$
   $\Longrightarrow f(2-x)=-f[4+(2-x)]\Longrightarrow f(x)=-f(4+x)\Longrightarrow$ 周期 $T=8$ ↩︎

8. 分析：由于 $f(x)+f(x+1)+f(x+2)$ 为定值 $a$，则 $f(x)+f(x+1)+f(x+2)=a$，
   则 $f(x+1)+f(x+2)+f(x+3)=a$，即 $f(x)+f(x+1)+f(x+2)=f(x+1)+f(x+2)+f(x+3)$，
   故 $f(x+3)=f(x)$，故函数的周期 $T=3$； ↩︎

9. 提示：用到赋值法，令 $x=-3$，则有 $f(-3+6)=f(-3)+f(3)$，再由奇偶性推出 $f(3)=0$，从而 $f(x+6)=f(x)$，故 $T=6$。
   引申：$f(x+6)=f(x)+n\cdot f(3)(n\in N^*)$，且 $f(x)$ 为偶函数，$\Longrightarrow T=6$(赋值法)
   同理，$f(x+4)=f(x)+f(2)$ 可以推出周期 $T=4$。 ↩︎

10. 分析：令 $x=y=0$，则有 $2f(0)=2f^2(0)$，得到 $f (0)=0 或 f (0)=1$；
    再令 $x=1，y=0$，则有 $2f(1)=2f(1)f(0)$，得到 $f(0)=1$；
    又题目已知 $f(1)=\cfrac{1}{2}$，令 $y=1$，则有 $f(x+1)+f(x-1)=2f(x)f(1)=f(x)$，
    即就是 $f(x+1)+f(x-1)=f(x)①$，由此得到 $f(x+2)+f(x)=f(x+1)②$，
    ①②两式相加得到 $f(x+2)=-f(x-1)$，即 $f(x+3)=-f(x)$，故周期为 $T=6$， ↩︎