中值定理笔记

总共有十个定理，其中四个和函数有关，五个和导函数有关，剩下一个是积分中值定理。

目录

• 有界与最值定理
• 介值定理
• 平均值定理
• 零点定理
• 费马定理
• 罗尔定理
• 拉格朗日中值定理
• 柯西中值定理
• 泰勒展开
• 积分中值定理
• 题型归纳

有界与最值定理

当\(f(x)\)在闭区间\(\lbrack a,b\rbrack\)上连续时，\(\exists m,M \in \mathbb{R}, \ s.t. \ m \leq f(x) \leq M\)。

\(m\)和\(M\)分别为\(f(x)\)在\(\lbrack a,b\rbrack\)上的最小和最大值。

介值定理

当\(f(x)\)在闭区间\(\lbrack a,b\rbrack\)上连续时，\(\forall\mu \in \lbrack m,M\rbrack,\ \exists\xi \in \lbrack a,b\rbrack,\ s.t.\ f(\xi) = \mu\)。

平均值定理

这个定理比较少被介绍。

\(f(x)\)在闭区间\(\lbrack a,b\rbrack\)上连续，\(a_{1} < x_{1} < x_{2} < \ldots < x_{n} < b\)时，

\[\exists\xi \in \lbrack a,b\rbrack,\ \ s.t.\ \ f(\xi) = \frac{f\left( x_{1} \right) + f\left( x_{2} \right) + \ldots + f\left( x_{n} \right)}{n} \]

这个定理很容易联想到介值定理，因此我们只需要证明平均值在函数的值域内即可。平均值的特点就是介于最大和最小之间，所以平均值就是一个介值，证毕。

零点定理

\(f(x)\)在闭区间\(\lbrack a,b\rbrack\)上连续， \(f(a) \times f(b) < 0\)时，\(\exists\xi \in \lbrack a,b\rbrack,\ s.t.\ f(\xi) = 0\)。

费马定理

若\(f(x)\)在\(x_{0}\)处可导，且取极值，那么有\(f^{'}\left( x_{0} \right) = 0\)

证明：

可导的意思是\(\lim_{x \rightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} \right)}{x - x_{0}} = A\)

以极大值为例，取极大值的意思是，在\(x_{0}\)的去心领域内，\(f(x) < f\left( x_{0} \right)\)

那么在\(x_{0}\)的两侧，\(\frac{f(x) - f\left( x_{0} \right)}{x - x_{0}}\)异号，由夹逼定理，可以得到\(A = 0\)。

罗尔定理

在闭区间 \(\lbrack a,b\rbrack\)上的连续函数\(f(x)\) ，在开区间\(\ (a,b)\)上可导，且\(\ f(a) = f(b)\) ，那么 \(\exists\xi \in (a,b)\) ，使得\(\ f^{'}(\xi) = 0\)。

罗尔定理用费马定理证明。

费马定理说极值的导数是0，那么就是要证明，\(f(a) = f(b)\)时，在\((a,b)\)内有极值。这就简单了，因为\((a,b)\)内的值，要么全部都等于\(f(a)\)，要么就至少存在一个点不等于\(f(a)\)。这样使用最值定理，再使用费马定理。

拉格朗日中值定理

在闭区间 \(\lbrack a,b\rbrack\)上的连续函数\(f(x)\) ，在开区间\(\ (a,b)\)上可导。

\[\exists\xi \in \lbrack a,b\rbrack,\ \ s\text{.t.\ }f^{'}(\xi) = \frac{f(a) - f(b)}{a - b} \]

怎么证明呢？如果要用到罗尔定理，那么我们就要构造一个函数g，有\(g(a) = g(b)\)，然后有\(g^{'}(\xi) = 0\)，这个就是结论。

把\(g^{'}(\xi) = 0\)和我们要证明的结论\(f^{'}(\xi) = \frac{f(a) - f(b)}{a - b}\)联系起来，很自然地想到

\[g^{'}(\xi) = f^{'}(\xi) - \frac{f(a) - f(b)}{a - b} = 0 \]

这样反着推回去，\(g(x) = f(x) - \frac{f(a) - f(b)}{a - b}x\)就证明了。

柯西中值定理

\(f\)和\(g\)在闭区间\(\lbrack a,b\rbrack\)内连续，开区间\(\lbrack a,\ b\rbrack\)内可导，且\(g^{'}(x) \neq 0\)，则

\[\frac{f(a) - f(b)}{g(a) - g(b)} = \frac{f^{'}(\xi)}{g^{'}(\xi)} \]

联想到泰勒定理的证明，或许我们会想着构造一个函数\(h\)，使得\(h^{'} = \left( \frac{f}{g} \right)^{'}\)

但是这样太难了。

除法对于积分来说，是一个棘手的存在，所以，我们考虑把要证明的结论做一个变形，因为除法很难，不妨考虑做乘法，有

\[\left( g(a) - g(b) \right)f^{'}(\xi) - \left( f(a) - f(b) \right)g^{'}(\xi) = 0 \]

这样，构造函数

\[h(x) = \left( g(a) - g(b) \right)f(x) - \left( f(a) - f(b) \right)g(x) \]

观察到

\[h(a) = f(b)g(a) - f(a)g(b) = h(b) \]

是的，就是这么巧。

柯西中值定理的几何意义，就是直角坐标系下一条曲线对应的参数方程：

\[\left\{ \begin{matrix} y = f(t) \\ x = g(t) \\ \end{matrix} \right.\ \]

曲线上两点连线，总是能在两点之间找到一个点的切线，和两点连线斜率相等。

泰勒展开

设\(f(x)\)在点\(x_{0}\)处n+1阶导数存在，则对该邻域内的任何点x，\(\exists\xi \in (x,\ x_{0})\)，使得

\[f(x) = \sum_{k = 0}^{n}\frac{f^{(k)}\left( x_{0} \right)\left( x - x_{0} \right)^{k}}{k!}\ + \frac{f^{(k + 1)}(\xi)\left( x - x_{0} \right)^{n + 1}}{(n + 1)!} \]

要证明这个定理，考虑把公式变成上面的形式，

\[g(x) = f(x) - \sum_{k = 0}^{n}\frac{f^{(k)}\left( x_{0} \right)\left( x - x_{0} \right)^{k}}{k!} \]

\[h(x) = \frac{\left( x - x_{0} \right)^{n + 1}}{(n + 1)!} \]

\[\frac{g}{h} = f^{n + 1}(\xi) \]

你说这玩意像个啥？

像泰勒，不是，下面得有区间长度

像柯西，求导一次也得不出

神秘的数字"0"

\[\frac{g(x) - g\left( x_{0} \right)}{h(x) - h\left( x_{0} \right)} = \frac{g(x)}{h(x)} = \frac{g^{'}\left( \xi_{1} \right)}{h^{'}\left( \xi_{1} \right)} \]

\[= \frac{f^{(1)}\left( \xi_{1} \right) - \sum_{k = 1}^{n}\frac{f^{k}\left( x_{0} \right)\left( \xi_{1} - x_{0} \right)^{k - 1}}{(k - 1)!}}{\frac{\left( \xi_{1} - x_{0} \right)^{n}}{n!}} = \frac{g^{'}\left( \xi_{1} \right) - g^{'}\left( x_{0} \right)}{h^{'}\left( \xi_{1} \right) - h^{'}\left( x_{0} \right)} \]

再使用n-1次柯西和一次泰勒

\[= \frac{f^{(n)}\left( \xi_{n} \right) - f^{(n)}\left( x_{0} \right)}{\xi_{n} - x_{0}} \]

\[= f^{(n + 1)}\left( \xi_{n + 1} \right) \]

这个证明我也想不到，你能想到泰勒展开和柯西中值定理的联系吗？

对于这种无穷递推的方法，我首先想到的是归纳

已知：

\[f(x) = \sum_{k = 0}^{n - 1}\frac{f^{(k)}\left( x_{0} \right)\left( x - x_{0} \right)^{k}}{k!} + \frac{f^{(n)}\left( \xi_{n} \right)\left( x - x_{0} \right)^{n}}{n!},\ \ \xi_{n} \in U_{0}\left( x_{0},\delta \right) \]

欲证明

\[f(x) = \sum_{k = 0}^{n}\frac{f^{(k)}\left( x_{0} \right)\left( x - x_{0} \right)^{k}}{k!} + \frac{f^{(n + 1)}\left( \xi_{n + 1} \right)\left( x - x_{0} \right)^{n + 1}}{(n + 1)!},\ \ \xi_{n + 1} \in U_{0}\left( x_{0},\delta \right) \]

等价于证明：

\[\frac{f^{(n)}\left( \xi_{n} \right)\left( x - x_{0} \right)^{n}}{n!} = \frac{f^{(n)}\left( x_{0} \right)\left( x - x_{0} \right)^{n}}{n!} + \frac{f^{(n + 1)}\left( \xi_{n + 1} \right)\left( x - x_{0} \right)^{n + 1}}{(n + 1)!} \]

此路不通，拉倒。

积分中值定理

\(f(x)\)在\(\lbrack a,b\rbrack\)上连续，存在\(\xi \in \lbrack a,b\rbrack,\ s.t.\ \int_{a}^{b}{f(x)dx} = f(\xi)(b - a)\)

通过介值定理容易证明。

通过泰勒中值定理，构造函数\(F(x) = \int_{a}^{x}{f(x)dx}\)，可证明\(\xi \in (a,b)\)。

题型归纳

经常出证明题，参考张宇老师的教学

一般来说，经常需要构造函数。

对于神秘的数字0，还有二阶导及以上的导数，可以考虑使用泰勒展开。

对于积分，要么使用积分中值定理，要么就是对一个等式两边使用积分。