动态规划也是一种分治思想，但与分治算法不同的是，分治算法是把原问题分解为若干子问题，自顶向下，求解各子问题，合并子问题的解从而得到原问题的解。动态规划也是自顶向下把原问题分解为若干子问题，不同的是，然后自底向上，先求解最小的子问题，把结果存储在表格中，在求解大的子问题时，直接从表格中查询小的子问题的解，避免重复计算，从而提高算法效率。
什么时候要用动态规划？
如果要求一个问题的最优解（通常是最大值或者最小值），而且该问题能够分解成若干个子问题，
并且小问题之间也存在重叠的子问题，则考虑采用动态规划。
怎么使用动态规划？
1. 判题题意是否为找出一个问题的最优解
2. 从上往下分析问题，大问题可以分解为子问题，子问题中还有更小的子问题
3. 从下往上分析问题 ，找出这些问题之间的关联（状态转移方程）
4. 讨论底层的边界问题
5. 解决问题（通常使用数组进行迭代求出最优解）
例题：给你一根长度为 n 的金条，请把金条剪成 m 段 (m 和 n 都是整数，n>1 并且 m>1)每断金条的长度记为 k[0],k[1],…,k[m].请问 k[0] k[1]…*k[m]可能的最大乘积是多少？
思路：1.首先，根据题意我们可以知道金条的长度和段数都要大于1，也就是说段数要从2开始；2.又因为金条的长度和段数都是整数，所以段数的范围是2~n，比如一根10cm的金条，最多能分成10段，每段1cm；3.接下来我们找找关联的子问题，当金条的长度小于2时，无法继续划分，最大的乘积返回0；当金条的长度为2时，可分为2段，每段的长度为1，最大的乘积即为1；当金条的长度为3时，可分为2段，一段长度为1，一段长度为2，最大的乘积即为2；4.最后我们来找找当金条长度大于3时的最大的乘积有何规律。
通过计算我们可以发现，无论金条的长度多长，当金条的段数越大，每段金条的长度的乘积就越小，当段数为2时，乘积是最大的。因此我们只用观察当段数为2时，金条的长度和每段金条的长度的最大乘积的规律，在遍历每段金条的长度时只需遍历n/2个数，不用重复计算。
在这里我们以金条长度为8举例，
k[0]=0;
k[1]=1;
k[2]=2;
k[3]=3;
k[4]=4;
k[5]=6;
k[6]=9;
k[7]=12;
k[8]=18;
当k[8]时，系统将会依次遍历k[1]*k[7]=12，k[2]*k[6]=18，k[3]*k[5]=18，k[4]*k[4]=16，然后比较这些乘积的大小，最后得出最大的乘积，结果为18。
#include <iostream>
#include <Windows.h>
using namespace std;
long long getMaxMul(int n) {
if (n < 2) return 0;
if (n == 2) return 1;
if (n == 3) return 2;
long long * k = new long long[n+1];
k[0] = 0;
k[1] = 1;
k[2] = 2;
k[3] = 3;
for (int i = 4; i <= n; i++) {
long long max = 0;
for (int j = 1; j <= i / 2; j++) {
long long ret = k[j] * k[i-j];
if (max < ret) {
max = ret;
}
}
k[i]=max;
}
return k[n];
delete[] k;
}
int main() {
int n = 0;//n为金条长度
cout << "请输入金条的长度:";
cin >> n;
cout << "可能的最大乘积是:" << getMaxMul(n) << endl;
system("pause");
return 0;
}
