狄利克雷卷积

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• 2023/10/15：发布文章

一、前置芝士

• 积性函数
• 卷积

二、定义

• 对于两个数论函数 \(f(x),g(x)\) 的狄利克雷卷积的结果 \(h(x)\) 定义为 \(h(x) = \sum_{d|x} f(d)g(\frac x d)\)，简记为 \(h = f*g\)

• 特别地，由于 \(\epsilon\) 卷上任何函数时函数不变，所以 \(\epsilon\) 为 狄利克雷卷积 的单位元

三、性质

• 交换律：\(f*h = g*f\)
• 结合律：\((f*g)*h = f*(g*h)\)
• 分配律：\((f+g)*h = f*h+g*h\)
• \(\forall f(x) \neq 0\)，有且只有一个在狄利克雷卷积意义下下的逆元
• 两个积性函数的狄利克雷卷积为积性函数
• 积性函数的逆元为积性函数

四、函数与狄利克雷卷积

① \(~\epsilon = \mu*1\Longleftrightarrow\epsilon(n) = \sum\limits_{d|n}\mu(d)~\)

证明

设 \(n = \prod p_i^{k_i},n'=\prod p_i\)，\(n\) 的质因子个数为 \(m\)

\[\sum_{d|n}\mu(d)=\sum_{d|n'}\mu(d)=\sum_{i=0}^{m}\binom m i(-1)^i=(1+(-1))^m \]

即当且仅当 \(m = 0\)（\(n = 1\)）时 \(\sum\limits_{d|n}\mu(d)=1\)

② \(~d = 1 * 1\Longleftrightarrow d(n) = \sum\limits_{d|n}1~\)

③ \(~\sigma = id * 1\Longleftrightarrow \sigma(n) = \sum\limits_{d|n}d~\)

④ \(~\varphi = \mu * id\Longleftrightarrow\varphi(n)=\sum\limits_{d|n}d\times \mu(\frac n d)~\)