积性函数

更新日志：

• 2023/10/15：发布文章

一、定义

• 若函数 \(f(x)\) 满足：\(f(1) = 1\) 且 \(\forall x,y\in\mathbb {N_+}\)，\(gcd(x,y) = 1\)，都有 \(f(xy) = f(x)f(y)\)，则 \(f(x)\) 为积性函数

通俗来说，就是 两个互质的数的函数值的积 等于 这两个数的积的函数值

• 若函数 \(f(x)\) 满足：\(f(1) = 1\) 且 \(\forall x,y\in\mathbb{N_+}\)，都有 \(f(xy) = f(x)f(y)\)，则 \(f(x)\) 为完全积性函数

通俗来说，就是 任意两个数的函数值的积 等于 这两个数的积的函数值

二、常见积性函数及其符号

• 单位函数：\(\epsilon(n) = [n=1]\)（完全积性）

• 恒等函数：\(id_k(n) = n^k\)（完全积性）

  • 当 \(k = 1\) 时，简记为 \(id(n) = n\)

• 除数函数：\(\sigma_k(n) = \sum\limits_{d|n}d^k\)

  • 当 \(k = 0\) 时，\(\sigma_0(n)\) 即为 \(n\) 的因数个数，简记为 \(d(n)\)
  • 当 \(k = 1\) 时，\(\sigma_1(n)\) 即为因数之和，简记为 \(\sigma(n)\)

• 欧拉函数：\(\varphi(n) = \sum\limits_{d=1}^{n}[gcd(d,n) == 1]\)

• 莫比乌斯函数：\(~\mu(x) = \begin{cases}1&x=1\\(-1)^k&x~没有平方因子，且质因子个数为~k\\0&x~有平方因子\end{cases}~\)

三、积性函数的线性求解

详见：线性筛