Dijkstra算法(单源最短路径)
单源最短路径问题,即在图中求出给定顶点到其它任一顶点的最短路径。在弄清楚如何求算单源最短路径问题之前,必须弄清楚最短路径的最优子结构性质。
一.最短路径的最优子结构性质
该性质描述为:如果P(i,j)={Vi....Vk..Vs...Vj}是从顶点i到j的最短路径,k和s是这条路径上的一个中间顶点,那么P(k,s)必定是从k到s的最短路径。下面证明该性质的正确性。
假设P(i,j)={Vi....Vk..Vs...Vj}是从顶点i到j的最短路径,则有P(i,j)=P(i,k)+P(k,s)+P(s,j)。而P(k,s)不是从k到s的最短距离,那么必定存在另一条从k到s的最短路径P'(k,s),那么P'(i,j)=P(i,k)+P'(k,s)+P(s,j)<P(i,j)。则与P(i,j)是从i到j的最短路径相矛盾。因此该性质得证。
二.Dijkstra算法
由上述性质可知,如果存在一条从i到j的最短路径(Vi.....Vk,Vj),Vk是Vj前面的一顶点。那么(Vi...Vk)也必定是从i到k的最短路径。为了求出最短路径,Dijkstra就提出了以最短路径长度递增,逐次生成最短路径的算法。譬如对于源顶点V0,首先选择其直接相邻的顶点中长度最短的顶点Vi,那么当前已知可得从V0到达Vj顶点的最短距离dist[j]=min{dist[j],dist[i]+matrix[i][j]}。根据这种思路,
假设存在G=<V,E>,源顶点为V0,U={V0},dist[i]记录V0到i的最短距离,path[i]记录从V0到i路径上的i前面的一个顶点。
1.从V-U中选择使dist[i]值最小的顶点i,将i加入到U中;
2.更新与i直接相邻顶点的dist值。(dist[j]=min{dist[j],dist[i]+matrix[i][j]})
3.知道U=V,停止。
代码实现:
/*Dijkstra求单源最短路径 2010.8.26*/ #include <iostream> #include<stack> #define M 100 #define N 100 using namespace std; typedef struct node { int matrix[N][M]; //邻接矩阵 int n; //顶点数 int e; //边数 }MGraph; void DijkstraPath(MGraph g, int *dist, int *path, int v0) //v0表示源顶点 { int i,j,k; bool *visited=( bool *) malloc ( sizeof ( bool )*g.n); for (i=0;i<g.n;i++) //初始化 { if (g.matrix[v0][i]>0&&i!=v0) { dist[i]=g.matrix[v0][i]; path[i]=v0; //path记录最短路径上从v0到i的前一个顶点 } else { dist[i]=INT_MAX; //若i不与v0直接相邻,则权值置为无穷大 path[i]=-1; } visited[i]= false ; path[v0]=v0; dist[v0]=0; } visited[v0]= true ; for (i=1;i<g.n;i++) //循环扩展n-1次 { int min=INT_MAX; int u; for (j=0;j<g.n;j++) //寻找未被扩展的权值最小的顶点 { if (visited[j]== false &&dist[j]<min) { min=dist[j]; u=j; } } visited[u]= true ; for (k=0;k<g.n;k++) //更新dist数组的值和路径的值 { if (visited[k]== false &&g.matrix[u][k]>0&&min+g.matrix[u][k]<dist[k]) { dist[k]=min+g.matrix[u][k]; path[k]=u; } } } } void showPath( int *path, int v, int v0) //打印最短路径上的各个顶点 { stack< int > s; int u=v; while (v!=v0) { s.push(v); v=path[v]; } s.push(v); while (!s.empty()) { cout<<s.top()<< " " ; s.pop(); } } int main( int argc, char *argv[]) { int n,e; //表示输入的顶点数和边数 while (cin>>n>>e&&e!=0) { int i,j; int s,t,w; //表示存在一条边s->t,权值为w MGraph g; int v0; int *dist=( int *) malloc ( sizeof ( int )*n); int *path=( int *) malloc ( sizeof ( int )*n); for (i=0;i<N;i++) for (j=0;j<M;j++) g.matrix[i][j]=0; g.n=n; g.e=e; for (i=0;i<e;i++) { cin>>s>>t>>w; g.matrix[s][t]=w; } cin>>v0; //输入源顶点 DijkstraPath(g,dist,path,v0); for (i=0;i<n;i++) { if (i!=v0) { showPath(path,i,v0); cout<<dist[i]<<endl; } } } return 0; } |
【推荐】编程新体验,更懂你的AI,立即体验豆包MarsCode编程助手
【推荐】凌霞软件回馈社区,博客园 & 1Panel & Halo 联合会员上线
【推荐】抖音旗下AI助手豆包,你的智能百科全书,全免费不限次数
【推荐】博客园社区专享云产品让利特惠,阿里云新客6.5折上折
【推荐】轻量又高性能的 SSH 工具 IShell:AI 加持,快人一步
· 开发中对象命名的一点思考
· .NET Core内存结构体系(Windows环境)底层原理浅谈
· C# 深度学习:对抗生成网络(GAN)训练头像生成模型
· .NET 适配 HarmonyOS 进展
· .NET 进程 stackoverflow异常后,还可以接收 TCP 连接请求吗?
· 本地部署 DeepSeek:小白也能轻松搞定!
· 如何给本地部署的DeepSeek投喂数据,让他更懂你
· 在缓慢中沉淀,在挑战中重生!2024个人总结!
· 大人,时代变了! 赶快把自有业务的本地AI“模型”训练起来!
· 从 Windows Forms 到微服务的经验教训