最长上升子序列 (LIS算法(nlong(n)))

设 A[t]表示序列中的第t个数，F[t]表示从1到t这一段中以t结尾的最长上升子序列的长度，初始时设F [t] = 0(t = 1, 2, ..., len(A))。则有动态规划方程：F[t] = max{1, F[j] + 1} (j = 1, 2, ..., t - 1, 且A[j] < A[t])。 

现在，我们仔细考虑计算F[t]时的情况。假设有两个元素A[x]和A[y]，满足 
(1)x < y < t 
(2)A[x] < A[y] < A[t] 
(3)F[x] = F[y] 

 

此时，选择F[x]和选择F[y]都可以得到同样的F[t]值，那么，在最长上升子序列的这个位置中，应该选择A[x]还是应该选择A[y]呢？ 

 

很明显，选择A[x]比选择A[y]要好。因为由于条件(2)，在A[x+1] ... A[t-1]这一段中，如果存在A[z]，A[x] < A[z] < a[y]，则与选择A[y]相比，将会得到更长的上升子序列。 
再根据条件(3)，我们会得到一个启示：根据F[]的值进行分类。对于F[]的每一个取值k，我们只需要保留满足F[t] = k的所有A[t]中的最小值。设D[k]记录这个值，即D[k] = min{A[t]} (F[t] = k)。 

注意到D[]的两个特点： 
(1)　D[k]的值是在整个计算过程中是单调不下降的。 
(2)　D[]的值是有序的，即D[1] < D[2] < D[3] < ... < D[n]。 

利 用D[]，我们可以得到另外一种计算最长上升子序列长度的方法。设当前已经求出的最长上升子序列长度为len。先判断A[t]与D[len]。若A [t] > D[len]，则将A[t]接在D[len]后将得到一个更长的上升子序列，len = len + 1， D[len] = A [t]；否则，在D[1]..D[len]中，找到最大的j，满足D[j] < A[t]。令k = j + 1，则有A [t] <= D[k]，将A[t]接在D[j]后将得到一个更长的上升子序列，更新D[k] = A[t]。最后，len即为所要求的最长上 升子序列的长度。 

在 上述算法中，若使用朴素的顺序查找在D[1]..D[len]查找，由于共有O(n)个元素需要计算，每次计算时的复杂度是O(n)，则整个算法的 时间复杂度为O(n^2)，与原来的算法相比没有任何进步。但是由于D[]的特点(2)，我们在D[]中查找时，可以使用二分查找高效地完成，则整个算法 的时间复杂度下降为O(nlogn)，有了非常显著的提高。需要注意的是，D[]在算法结束后记录的并不是一个符合题意的最长上升子序列！

 

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
using namespace std;

const int mx=100005;
int a[mx],d[mx];

int BinSerch(int l,int r,int cut)
{
    while (l<=r)
    {
        int m=(l+r)>>1;
        if (cut>d[m]&&cut<=d[m+1]) return m;
        if (cut>d[m]) l=m+1;
        else r=m-1;
    }
    return 0;
}

int LIS(int n)
{
    int len=1,j;
    d[1]=a[0];
    for (int i=1;i<n;i++)
    {
        if (a[i]>d[len]) j=++len;
        else j=BinSerch(1,len,a[i])+1;
        d[j]=a[i];
    }
    return len;
}

int main()
{
    int n;
    while (~scanf("%d",&n))
    {
        for (int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&a[i]);
        printf("%d\n",LIS(n));
    }
}