172. 阶乘后的零

阶乘后的0

题目描述

题解

$n!$ 中尾随0的个数等于 $n!$ 中因子10的个数，而10=2 * 5，所以转化为求 $n!$ 中因子2和因子5的个数，即问题转换为对 $[1,n]$ 中的各项进行分解质因数，能够分解出来的 2 的个数和 5 的个数分别为多少。显然，质因子5的个数不会大于2的个数，因此只需求 $n!$ 中质因子5的个数。更为一般的，我们对[1,n]中的各个数分解质因数，分析能分析多少个质因数 $p$.
我们定义 [ ] 为向下取整运算，那么:
$[1,n]$ 中能够分解出至少1个质因数 $p$ 的个数为 $x_1=[\frac{n}{p}]$
$[1,n]$ 中能够分解出至少2个质因数 $p$ 的个数为 $x_2=[\frac{n}{p^2}]$
...
$[1,n]$ 中能够分解出至少 $k$ 个质因数 $p$ 的个数为 $x_k=[\frac{n}{p^k}]$
其中，$k$ 需要满足 $p^k\le n$，而且，上面每一类数均是前一类数的子集。
综上，$[1,n]$ 中质因子 $p$ 的个数为 $\sum _{i=1}^k{x}_i$.
本题中，$n!$ 中质因子2的个数为 $\sum _{i=0}^{k1}[\frac{n}{2^i}]$.
$n!$ 中质因子5的个数为 $\sum _{i=0}^{k2}[\frac{n}{5^i}]$.
可以发现质因子5的个数不会多于质因子2的个数，因此只需统计5的个数，代码如下

class Solution {
public:
    int trailingZeroes(int n) {
        int ans = 0;
        while (n) {
            n /= 5;
            ans += n;
        }
        return ans;
    }
};

时间复杂度 $O(logn)$