康托编码与解码

简介

对于一个集合 {1, 2, ... , n} ，其不同排列有 \(n!\) 种，将各种排列按照字典序从小到大编号（0 ～ \(n!-1\) ）。康托编码与解码旨在解决这么一个问题：给定一个排列X，它的序号是多少。或者给定一个序号，它的排列是怎么样的。

康托表达式

\(X=f(n) \cdot (n-1)! + f(n-1) \cdot (n-2)! + ... + f(1) \cdot 0!\)

编码

给定一个序列 \(a_na_{n-1}...a_1\)，\(f(i)\) 表示在该位置的右边比其小的数的个数，即 \(a_{i-1},a_{i-2}...a_1\) 中比 \(a_i\) 小的个数。例如给定一个排列2314，计算其编码步骤如下：

1. 在2右边且比2小的数的个数为有1个（1）
2. 在3右边且比3小的数的个数有1个（1）
3. 在1右边且比1小的数的个数有0个
4. 在4的右边且比4小的数的个数有0个

故排列2314的编号为 X = 1·3！+ 1·2! = 8
同理，计算可得2134的编号为6，1423的编号为4

解码

给定集合 {1,2,3,4}，给定编号13，求其排列，步骤如下：

1. 13 / 3！= 2 余 1
2. 1 / 2 ！= 0 余 1
3. 1 / 1 ！ = 1 余 0
4. 0 / 0！ = 0 余 0

商表示该位置的右边有多少个数比它小，故编号13对应的排列为3142
同理，给定编号5，可以求得排列为1432

例题

60.排列序列

题解

该题中编号是从1开始，因此为了适用康托展开时，我们得将k减1，代码如下：

class Solution {
public:
    string getPermutation(int n, int k) {
        //求阶乘
        vector<int> factorial(n);
        factorial[0] = 1;
        for (int i = 1; i < n; ++i)
        {
            factorial[i] = factorial[i - 1] * i;
        }
        //k的编号从1开始，因此需自减才能适用康托表达式
        --k;
        string ans;
        //用valid来度量order的大小，order即为前文提到的f函数
        vector<int> valid(n + 1, 1);
        for (int i = 1; i <= n; ++i) 
        {
            int order = k / factorial[n - i] + 1;
            for (int j = 1; j <= n; ++j) 
            {
                //遍历到位置i
                //order可以代表比某一个数x小的数的个数，且这些比x小的数未在该位置左边出现过
                order -= valid[j];
                if (!order) 
                {
                    //ans代表在位置i上真实的数
                    ans += (j + '0');
                    valid[j] = 0;
                    break;
                }
            }
            k %= factorial[n - i];
        }   
        return ans;     
    }
};