单调栈

栈是一种后进先出的线性的数据结构，但若在栈的结构之上再规定栈中元素大小需满足单调关系，即成为单调栈。

单调栈分为单调递增栈和单调递减栈：

1. 单调递增栈即栈内元素保持单调递增的栈
2. 单调递减栈即栈内元素保持单调递减的栈

操作规则（以单调递增栈为例）：

1. 如果新的元素比栈顶元素大，就入栈
2. 如果新的元素较小，那就一直把栈内元素弹出来，直到栈顶比新元素小

单调栈具有如下性质：

1.栈内元素是递增的
2.当栈中已有元素需要出栈时（遇见了比它小的新元素），说明后续这个新元素是需要出栈的元素向后找第一个比其小的元素
3.当元素出栈后，新栈顶元素是出栈元素向前找第一个比其小的元素

举个例子，现在栈中元素是 2 3 7 。
接下来新元素是4 ，那么在7需要出栈。
当7出栈时，新元素4即为7右边第一个比7小的元素。
当7出栈时，3成为新的栈顶，那么3就是7左边第一个比它小的元素。
单调栈可以用\(O(n)\)的复杂度在序列中向前找到第一个小于给定元素的位置和向后找到第一个小于给定元素的位置。

例题

柱状图中的最大矩形
给定 n 个非负整数，用来表示柱状图中各个柱子的高度。每个柱子彼此相邻，且宽度为 1 。求在该柱状图中，能够勾勒出来的矩形的最大面积。

示例 1:
输入：heights = [2,1,5,6,2,3]
输出：10
解释：最大的矩形为图中红色区域，面积为 10

思路

对于每一个矩形，我们需要找到两个边界：第一个高度小于它的右边界和第一个高度小于它的左边界，利用单调栈可以很好的解决这个问题。

class Solution {
public:
    int largestRectangleArea(vector<int>& nums)
    {
        int ans = 0;
        //栈中存放的是索引，一定不要搞混淆了
        stack<int> st;
        //一开始添0，保证在计算过程中，即while循环体内部栈不会变空
        nums.insert(nums.begin(),0);
        //最后添0，即使给定一个递增序列也可顺利求出
        nums.push_back(0);
        for(unsigned i = 0; i < nums.size(); i++)
        {
            while(!st.empty() && nums[i] < nums[st.top()])
            {
                int temp = st.top();
                st.pop();
                int width = i - st.top() - 1;
                int height = nums[temp];
                ans = max(ans, width * height);
            }
            st.push(i);
        }
        return ans;
    }
};