2019暑期金华集训 Day2 线性代数
自闭集训 Day2
线性代数
高斯消元
做实数时,需要找绝对值最大的作为主元,以获取更高精度。
在欧几里得环(简单例子是模合数)意义下也是对的。比如模合数意义下可以使用辗转相除法消元。
欧几里得环:对于任意a,b,都可以定义a=qb+r (|r|<b),于是可以辗转相除。(显然,多项式环也是欧几里得环)
逆矩阵
方法与高斯消元类似,左边摆一个原矩阵,右边摆一个单位矩阵,高斯消元的过程中左边的行操作都在右边同样做一遍。最后左边剩下一个单位矩阵,右边就是逆矩阵。
对于方程Ax=b,如果A存在逆矩阵,那么x=A^{-1}b。对于有多个b询问的时候可以O(n^2)做每一个询问。
CF446D
假设起点固定,设g_i表示经过i号点的期望次数,很容易列出方程,所以可以做到O(n^4)。
注意方程的形式是
前面一片都总是一样的,只要[i=S]每次变化。这类似于一个Ax=b的多组询问的形式,可以先求出A^{-1}然后每次乘上向量就可以得到答案。
总复杂度O(n^3)。
矩阵快速幂
多次询问A^n b,每次n,b不同。
可以预处理A^{2^k},每次回答的时候只乘b,可以做到m^3\log n+qm^2\log n。
行列式
M_{i,j}表示去掉i行j列之后的矩阵行列式。(余子式)
c_{i,j}=(-1)^{i+j}M_{i,j}:代数余子式。
\det(A)=\sum_i a_{i,j} c_{i,j},即按行展开。(按列展开也是对的)
\det(A^T)=\det(A)。
\det(AB)=\det(A)\det(B)=\det(BA)。
行列式的几何意义:向量在d维空间中围成的平行X面体(单纯形?)体积,所以围成的类似于棱锥的体积等于\frac 1 {d!}\det(A)。
推论:方程组
的体积是\frac{s^d}{d!}。
THUPC2017 E
通过行列式,我们可以快速算出n维空间中n+1个点围成的棱锥的体积。
有一个结论:任选n个点,把他们围成的棱锥的体积加起来,最后除以二,就是答案。
为什么?咕咕咕
矩阵树定理
生成树的个数就是度数矩阵减去邻接矩阵,再删掉一行一列,的行列式。
有向图的以i为根的树形图,是度数矩阵减去邻接矩阵,再删去i行i列,的行列式。外向树是入度,内向树是出度。
某知名定理
n个点的完全图的生成树个数是n^{n-2}。
可以使用矩阵树定理或prufer序列证明。
BEST定理
n个点有向图存在欧拉回路的充要条件是所有点入度等于出度。图的欧拉回路的条数是任意一个点的树形图个数乘所有点度数-1的阶乘。(显然任意一个点的树形图个数都相等)
UOJ226
无向图的欧拉回路条数,如果图是一棵树带重边,那么可以很容易给边定向;如果是环套树带重边,那么可以枚举环上某两个点之间有几条往右几条往左,就可以推出所有边的情况。
带状矩阵
高斯消元可以做到nd^2,其中d是带子的宽度。
如果需要改变主元,为了保证复杂度不能向下找,而要向右找,交换两列,相当于交换两个变量。
用途:比如网格图做生成树个数的时候,带宽可以做到\min(n,m),不妨设m<n,那么复杂度就是O(nm^3)。(与博客中直接消元法类似)
CF963E
见博客。
线性空间(向量空间)
定义在某一个数域内,比如\rm{F}_p,\R^3,使得v_1\in S,v_2\in S,则有v_1+v_2\in S,av_1\in S。(即对加减法和数乘封闭)
对于向量集合S,记\mathrm{span}(S)=\{a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3+\cdots\}。
线性无关组\{v_{1...k}\}:不存在不全为零的a_{1...k},使得\sum a_iv_i=0。
一个向量空间的基:向量空间中某个极大的线性无关组。
向量空间的维数:基的大小。
矩阵(或一组向量)的秩:张成的线性空间的维数。
定理:行空间和列空间的维数相等。
模p意义下,若\dim V=d,那么共有p^d个元素。(???)
Ax=b什么时候会有一解、无解、多解?
如果是在模p意义下,那么有多解的时候解的个数是p^{n-\mathrm{rank}(A)}。(即n-\mathrm{rank} (A)就是自由元的个数)
空间\{x|Ax=0\}(即Ax=0的解空间)是一个线性空间。
xor可以定义在F_2的d维空间。
拟阵
拟阵由一个二元组(V,I)组成。
I:拟阵的子集族(即一个由集合组成的集合),满足
- \empty\in I
- A\subset B,B\in I,那么A\in I
- |A|<|B|,A\in I,B\in I,那么存在v\in B-A,使得A+\{v\}\in I
线性无关组是拟阵。(???)
拟阵可以用来证明贪心的正确性。
HDU多校1 B
线性基里面存二元组(x,p)表示当前值是x,用到的最早的位置是p。插入的时候如果p>p'那么交换。
询问的时候取出r位置的线性基,只用p\ge l的位置的值得到答案。
UOJ 91
类似上一题,把p设成消失的时间,然后用一样的方法做。
SRM 620 Hard
对于每个因子列一个方程;
对于每一行、每一列再列一个方程。
如果有解那么方案数就是2^{n-\mathrm{rank}}。
伴随矩阵
A的伴随矩阵(记作\mathrm{adj}(A)),他的a'_{i,j}=c_{j,i},即代数余子式的矩阵的转置。
由于代数余子式求起来很慢,我们需要一个更快的做法。可以发现,\mathrm{adj}(A)有一些很有趣的性质:
因此,如果A可逆,那么可以直接求出\mathrm{adj}(A)。
否则,
若\mathrm{rank}(A)\le n-2,那么伴随矩阵恒为0。(???)
若\mathrm{rank}(A)=n-1,则A\cdot \mathrm{adj}(A)=0,即\mathrm{adj}(A)的每一列都在Ax=0的解空间内。又因为Ax=0的解空间维数为1,所以\mathrm{adj}(A)的每一列都可以表示为t\cdot x_0。一种较为丑陋的方法就是先求出Ax=0的某一个解x_0,然后把A的某一行换成随机数,那么这一行的余子式不会变,但矩阵变得可逆了,于是就可以求出\mathrm{adj}(A)的某一行(或列?),于是就可以求出一整个\mathrm{adj}(A)。
由这个式子可以推出A在交换环R(???)意义下存在逆矩阵的充要条件是\mathrm{\det A}存在逆元:
又因为
所以
Schwartz–Zippel Lemma
一个多项式(可以有多个变量)在模p意义下,如果每个变量的值都是随机的,那么一整个多项式的值为0的概率不超过次数除以p。
判断一个二分图是否有完备匹配
给每一条边一个变量,……掉线
NTF笔记多好qwq
Tutte Matrix
Sherman–Morrison formula
对于列向量u,v,有
发现右边的东西可以O(n^2)做出来。
扩展:可以在O(n^2k)的时间内实现给一个矩阵加上一个\mathrm{rank}=k的矩阵,并维护出它的逆。仍然有公式:
U为一n\times k矩阵,V为一k\times n矩阵,且I_k+VA^{-1}U可逆,则
对于某一个\mathrm{rank}=k的矩阵,选出它行空间的某一组基,那么其他的行肯定可以被表示出来,所以肯定可以被拆成U\cdot V的形式。
动态图传递闭包
令A为图的邻接矩阵(邻接矩阵内如果有边则随机设值,于是矩阵大概率可逆),那么传递闭包可以视为
其中i,j可达当且仅当A_{i,j}不为零。
如果要加边删边,相当于对A做很小的修改,于是可以用上面的方法维护出来。
甚至可以对某个点连出去或连进来的边全部进行修改,因为这样也只是修改了一行或一列而已。
(到底是否正确?)
ICPC2018 Nanjing F
如果固定终点,那么可以设f_x表示从这里走到T的期望步数,很容易列出方程:
直接暴力高斯消元是O(n^4),过不去。
由于每一次改变T的时候都只会改变一行,于是可以采用上面的方法维护逆矩阵……吗?
需要注意一些初始的东西,似乎是要保证一开始的矩阵要有逆,然而并没有完全听懂。
设f_{i,j}表示从i走到j的期望步数,那么
令g_i表示从i走回i的期望步数,那么
于是
(其中F全是1,G为对角矩阵)
即
可以证明\mathrm{rank}(I-P)=n-1。
左右同时进行高斯消元,令F_{n,i}=0,可以消出一个F的特解Y。
由于(I-P)x=0的解空间的维数为1,所以可以给Y的每一列加上几个x,然后……由于F_{i,i}=0,可以知道每一列到底要加几个,然后就做完了……
(???)
设q_{k,i}表示走k步之后走到i的概率,则\lim\limits_{k\rightarrow \infty}q_{k,i}=\pi_i。
所以
而且
可以解方程解出\pi。
于是在一个无限长的出现序列里面,每g_i步便出现一次i,所以g_i=\frac 1{\pi_i}。
于是g也求出来了,于是F也就可以通过求逆求出来。
(不是很严谨)
特征值和特征向量
如果\lambda为A的特征值,那么满足
显然,\det (\lambda I-A)为一个关于A的一个次数为n的多项式,而且首项系数为1。记这个多项式为A的特征多项式。
每个特征值对应一个特征向量x_i,满足
其中D是\lambda_i组成给的对角矩阵。记P=[x_i]。
所以AP=PD,A=PDP^{-1},所以A^n=PD^nP^{-1}。
CF923E
矩阵对角化一下,显然\lambda_i=\frac 1 i,然后发现上面的P和P^{-1}都有很好的性质,一通乱乘恰好是一个卷积的形式,于是就没了。
(具体证明懒得写了,看题解吧)
哈密尔顿-凯莱定理
对于A的特征多项式f(\lambda)=\sum c_k\lambda^k,有f(A)=0。
所以有
优化线性递推
见博客。
BM算法求矩阵的最小多项式
考虑数列\{A^k\}的线性递推式A^n=\sum_{i=1}^t c_iA^{n-i},它其实就对应着一个零化多项式,所以我们就是要求这个数列的最短递推式。
考虑随机两个向量u,v,改成求\{u^TA^kv\}的线性递推式。
设A中非0位置的个数是e,那么A与一个向量相乘的复杂度是O(e)的,于是可以O(ne)搞到这个数列,然后再O(n^2)求出线性递推式。
总复杂度O(n(n+e))。
BM算法解稀疏线性方程组
对于一个方程组Ax=b(A满秩),有x=A^{-1}b。
考虑求出\{A^kb\}的最短递推式,那么得到Ib=\sum_{i=1}^m c_iA^ib。左右同乘A^{-1},得到A^{-1}b=\sum_{i=1}^m c_iA^{i-1}b。
A^kb=A(A^{k-1}b),所以可以直接递推得到。
总复杂度O(n(n+e))。
BM算法求稀疏矩阵行列式
由定义可知\det(A)=(-1)^n f(0),其中f为A的特征多项式。
每行随机乘a_i,有很高概率它的最小多项式就是特征多项式(必须要满秩?没听清)。
于是稀疏矩阵的行列式就可以在O(n(n+e))的时间内求出来。
Cramer法则
对于Ax=b,如果\det(A)=0那么有唯一解:
其中D=\det(A),D_i表示把第i列换成b的行列式。
这个东西似乎没什么用,然而在A是范德蒙德矩阵的时候可能会有奇效。
(需要用到多项式多点插值的式子和多项式多点求值)
【推荐】编程新体验,更懂你的AI,立即体验豆包MarsCode编程助手
【推荐】凌霞软件回馈社区,博客园 & 1Panel & Halo 联合会员上线
【推荐】抖音旗下AI助手豆包,你的智能百科全书,全免费不限次数
【推荐】博客园社区专享云产品让利特惠,阿里云新客6.5折上折
【推荐】轻量又高性能的 SSH 工具 IShell:AI 加持,快人一步
· 没有源码,如何修改代码逻辑?
· 一个奇形怪状的面试题:Bean中的CHM要不要加volatile?
· [.NET]调用本地 Deepseek 模型
· 一个费力不讨好的项目,让我损失了近一半的绩效!
· .NET Core 托管堆内存泄露/CPU异常的常见思路
· DeepSeek “源神”启动!「GitHub 热点速览」
· 微软正式发布.NET 10 Preview 1:开启下一代开发框架新篇章
· C# 集成 DeepSeek 模型实现 AI 私有化(本地部署与 API 调用教程)
· DeepSeek R1 简明指南:架构、训练、本地部署及硬件要求
· NetPad:一个.NET开源、跨平台的C#编辑器