协同过滤推荐（Collaborative Filtering Recommendation）
User-based CF: 基于User的协同过滤，通过不同用户对Item的评分来评测用户之间的相似性，根据用户之间的相似性做出推荐；
基于用户的协同过滤分为两个步骤：
1. 找到与目标用户兴趣相似的用户集合
2. 找到这个集合中用户喜欢的、并且目标用户没有听说过的物品推荐给目标用户
计算两个用户的兴趣相似度：
设 N(u) 为用户 u 喜欢的物品集合，N(v) 为用户 v 喜欢的物品集合：
Jaccard 公式：
余弦相似度：
其中分母表示两个向量b和c的长度，分子表示向量的内积。
在本例中，用户A对物品{a,b,c}有过行为，用户B对物品{a,c}有过行为，利用余弦相似度公式计算用户A和用户B的兴趣相似度，以及A和C、D的相似度：
向量A = {1,1,0,1,0};
向量B = {1,0,1,0,0};
如果两两用户都利用余弦相似度计算相似度。这种方法的时间复杂度是O(|U|*|U|)，这在用户数很大的情况下十分耗时。事实上，很多用户相互之间并没有相同的物品产生行为，即很多时候N(u)和N(v)的交集为0。那么，一种高效的算法就是首先计算出交集不为0的用户对{u,v}，然后再对这种情况除以分母|N(u)UN(v)|（或者另一种根号形式）。
为此，可以首先建立物品到用户的 倒查表 ，对于每个物品都保存对该物品产生过行为的用户列表。令系数矩阵C[u][v]=|N(u)并N(v)|。那么，假设用户u和用户v同时属于倒排表中K个物品对应的用户列表，就有C[u][v]=K。从而，可以扫描倒查表中每个物品对应的用户列表，将用户列表中的两两用户对应的C[u][v]加1，最终就可以得到所有用户之间不为0的C[u][v]。
建立的倒查表：
建立一个4*4的 用户相似度矩阵W ，对于物品a，将W[A][B]和W[B][A]加1，对于物品b，将W[A][C]和W[C][A]加1，以此类推。扫描完所有物品后，我们可以得到最终的W矩阵。这里的W是余弦相似度中的分子部分，然后将W除以分母可以得到最终的用户兴趣相似度。
推荐物品：
首先需要从矩阵中找出与目标用户 u 最相似的 K 个用户，用集合 S(u, K) 表示，将 S 中用户喜欢的物品全部提取出来，并去除 u 已经喜欢的物品。对于每个候选物品 i ，用户 u 对它感兴趣的程度用如下公式计算：
其中 rvi 表示用户 v 对 i 的喜欢程度，在本例中都是为 1，在一些需要用户给予评分的推荐系统中，则要代入用户评分。
举个例子，假设我们要给 A 推荐物品，选取 K = 3 个相似用户，相似用户则是：B、C、D，那么他们喜欢过并且 A 没有喜欢过的物品有：c、e，那么分别计算 p(A, c) 和 p(A, e)：
用户 A 对 c 和 e 的喜欢程度是一样的，在真实的推荐系统中，只要按得分排序，取前几个物品就可以了。
