CF1051F The Shortest Statement
题意简述
给定一张n个点m条边的无向图，满足m-n<=20，然后进行q次操作，每次给定两个点，询问两点间最短路。
数据范围：1<=n,m,q<=105。
算法概述
只看题面显然是个裸的全源最短路，但是再看数据范围……显然不是全源最短路。
所以这时候就需要发挥我们的聪明才智，在题目中找一些特殊性质或者发现一些结论之类的了。
显然，这道题最特殊的地方在于m-n<=20的限制，相当于在一棵树上多出了最多21条非树边。
对于给定的任意两个点a,b，最短路无非两种情况：
1.只经过树边，树上距离简单容斥一下，d[a]+d[b]-2*d[lca(a,b)]；
2.经过非树边，那么我们可以枚举所有非树边，对于每条非树边(u,v,w)，其构成的最短路有且仅有两种情况，其一是a→u→v→b，其二则是a→v→u→b，两者取min即可。
那么我们的算法框架就出来了：
先求一棵生成树（以下用Kruskal），然后把非树边处理出来。
先在树上做预处理，求出每个点到根的距离d。
把非树边加进去，然后对于所有在非树边上的点跑一遍最短路。
最后处理询问。
时间复杂度O(21*q+42*mlogn)。
参考代码
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e5+10;
struct Edge{
int to,next,w;
}edge[N<<1];int idx;
int h[N];
void add_edge(int u,int v,int w){edge[++idx]={v,h[u],w};h[u]=idx;}
struct E{
int u,v,w;
bool operator <(const E &ed)const{
return w<ed.w;
}
}e[N],spc[N];int cnt;
int fa[N];
ll dis[50][N];
int vis[N];
int n,m,q;
int dep[N],son[N],siz[N];
int f[N],top[N];
ll d[N];
void dfs1(int p,int father)
{
f[p]=father;
dep[p]=dep[father]+1;
siz[p]=1;
int max_son=0;
for(int i=h[p];~i;i=edge[i].next)
{
int to=edge[i].to,w=edge[i].w;
if(to==father)continue;
d[to]=d[p]+w;
dfs1(to,p);
if(siz[to]>max_son)max_son=siz[to],son[p]=to;
siz[p]+=siz[to];
}
}
void dfs2(int p,int t)
{
top[p]=t;
if(!son[p])return;
dfs2(son[p],t);
for(int i=h[p];~i;i=edge[i].next)
{
int to=edge[i].to;
if(to==f[p]||to==son[p])continue;
dfs2(to,to);
}
}
inline int lca(int x,int y)
{
while(top[x]!=top[y])
{
if(dep[top[x]]<dep[top[y]])swap(x,y);
x=f[top[x]];
}
return dep[x]<dep[y]?x:y;
}
int get(int x)
{
if(fa[x]==x)return fa[x];
return fa[x]=get(fa[x]);
}
void dijkstra(int s,ll dist[])
{
memset(vis,0,sizeof vis);
priority_queue<pair<ll,int> > q;
q.push(make_pair(0,s));
dist[s]=0;
while(!q.empty())
{
int p=q.top().second;
q.pop();
if(vis[p])continue;
vis[p]=1;
for(int i=h[p];~i;i=edge[i].next)
{
int to=edge[i].to,w=edge[i].w;
if(dist[to]>dist[p]+w)
{
dist[to]=dist[p]+w;
q.push(make_pair(-dist[to],to));
}
}
}
}
int main()
{
memset(h,-1,sizeof h);
memset(dis,0x3f,sizeof dis);
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++)fa[i]=i;
for(int i=1;i<=m;i++)scanf("%d%d%d",&e[i].u,&e[i].v,&e[i].w);
sort(e+1,e+m+1);
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int u=e[i].u,v=e[i].v,w=e[i].w;
u=get(u),v=get(v);
if(u==v)
{
spc[++cnt]=e[i];
continue;
}
fa[u]=v;
add_edge(e[i].u,e[i].v,w);
add_edge(e[i].v,e[i].u,w);
}
dfs1(1,0);
dfs2(1,1);
for(int i=1;i<=cnt;i++)
{
int u=spc[i].u,v=spc[i].v,w=spc[i].w;
add_edge(u,v,w);
add_edge(v,u,w);
}
for(int i=1;i<=cnt;i++)
{
int u=spc[i].u,v=spc[i].v;
dijkstra(u,dis[(i<<1)-1]);
dijkstra(v,dis[i<<1]);
}
scanf("%d",&q);
while(q--)
{
int a,b;scanf("%d%d",&a,&b);
ll ans=d[a]+d[b]-2*d[lca(a,b)];
for(int i=1;i<=cnt;i++)
{
int u=(i<<1)-1,v=i<<1,w=spc[i].w;
ans=min(ans,dis[u][a]+dis[v][b]+w);
ans=min(ans,dis[u][b]+dis[v][a]+w);
}
printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}
