模方程

 

【算法 1】当 a; p 相等时，只需要求出 a 在模 p 意义下的一个幂循环节 t，然后求解bx ≡ t(mod p) 的模方程即可。求解该模方程可以用拓展欧几里得算法。
若a不与p互质，则一定无解。证明：反证法：假设a不与p互质时有解。令d=gcd(a,p)，显然d>1；设a=d*t；则a^r=(d^r) * (t^r) = 1 (mod p)，即d^r * t^r - py= 1，其中 y = floor(a^r/p)；提取公因数d得，d*(d^(r-1) * t^r - p/d*y) = 1；因为d>1，所以上式显然不成立。故原命题成立。证毕！
故a与p必然互质，下面求解方程bx ≡ t (mod p)的解即为原题的解。证明：a^(bx mod p) ≡ a^t (mod p)，必然存在正整数x，使得a^x ≡ a^(x+t) (mod p)，两边同乘a的逆元c的x次方，得 a^x * c^x ≡ a^(x+t) * c^x (mod p)，因为a*c ≡ 1 (mod p)，则 (a*c)^x ≡ 1 ≡ a^t (mod p)，所以 a^t ≡ 1 (mod p)。故 bx mod p = t mod p 即为原方程的解。证毕！
bx ≡ t (mod p) ，即bx - py = t，故可以用扩展欧几里得算法求解。证明：bx ≡ t (mod p)，即 bx -py =t。因为gcd(a,p)=1，所以 存在x',y'，满足ax' + py' = 1（裴蜀定理）。两边同乘b得，a*(bx') + p*(by') = b，所以 a(bx') ≡ b (mod p)，故 x ≡ bx' (mod p)。证毕！故只需用扩欧求出一组满足条件的x,y，然后将x乘上b，再模上p即可得解。
循环节t的求法：1. 暴力 ：从小到大枚举k，找出a^k ≡ 1 (mod p)；2.大步小步分块：a^t ≡ 1 (mod p)，r = floor(sqrt(p))，设t = kr - s (s∈[0,r)，k∈[1,r+1])，（k和s是有关t的函数，k和s一定能表示出t因为是减去s所以k应该不能取到0）
因为a^t ≡ 1 (mod p)，一定存在一个s，使得a^(t+s) ≡ a^s (mod p)，即a^kr ≡ a^s (mod p)；a^kr取值范围：a^0，a^r，a^2r，a^3r，……，a^floor((p/r))*r