数据结构——单调栈与单调队列

单调栈

单调栈是栈内元素具有严格单调性的一种数据结构。

　　模板题链接：单调栈

　　由于我们要找到每个数左边第一个比它小的数，那么我们便可以发现：

　　对于栈中任意一个数，如果在它右边存在一个数比它小（或相等），那么这个数便是不可能被选中的，直接弹出栈即可。

　　于是我们便可以进行如下操作：

　　按序枚举每一个数，准备将当前这个数压栈时，从栈顶开始遍历，如果栈内当前元素比当前预进栈的数要大（或相等），则符合上述所说的性质，可以直接将其出栈，让栈顶位置减一。直到遇到一个数比当前预进栈的数小，则让栈顶位置加一，使其入栈。

　　需要注意的是，为了保证栈内必然存在一个数比当前预进栈的数要小，也就是为了防止数组越界，我们可以将栈中下标为0的位置设为-1。

　　代码实现：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int N = 1e5+10;
int n;
int a[N],top;

int find(int x)
{
    a[0]=-1;
    while(a[top]>=x)top--;
    if(top==0){a[++top]=x;return -1;}
    int now=a[top];a[++top]=x;
    return now;
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int x;
        scanf("%d",&x);
        printf("%d ",find(x));
    }
    return 0;
}

　　单调栈算法，每个元素至多入栈一次、出栈一次，故时间复杂度为O(n)。借助单调栈处理问题的思想在于及时排除不可能的选项，保持策略集合的高度有效性和秩序性，从而为我们作出决策提供更多的条件和可能方法。

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单调队列

单调队列与单调栈类似，是一种队列内元素具有严格单调性的数据结构。

　　模板题链接：滑动窗口

　　下面以求最大值为例：

　　对于队列内每一个数，如果在其右边存在一个比它大的数，则该数一定比其更优，故可将其出队。

　　我们从左到右枚举序列中的每一个数，然后执行以下三步操作：

　　1.如果当前队首元素下标已经超出了滑动窗口的范围，则队首元素出队。

　　2.若队尾元素小于预入队的数，则不断删除队尾元素，直到队尾元素的值大于该数，则将其插入队尾。

　　3.若当前枚举的数的下标已经大于等于滑动窗口的大小，则可以输出，当前队首元素即是最优解。

　　为了方便起见，我们在队列中存储数的下标。

　　代码实现：

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;
const int N = 1e6 + 10;

int n,k;
int a[N],q[N];

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
    int front=1,back=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(front<back&&q[front]<=i-k)front++;
        while(front<back&&a[q[back-1]]>=a[i])back--;
        q[back++]=i;
        if(i>=k)printf("%d ",a[q[front]]);
    }
    puts("");
    front=1,back=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(front<back&&q[front]<=i-k)front++;
        while(front<back&&a[q[back-1]]<=a[i])back--;
        q[back++]=i;
        if(i>=k)printf("%d ",a[q[front]]);
    }
    puts("");
    return 0;
}

　　单调队列算法，每个元素至多入队一次、出队一次，故时间复杂度为O(n)。它的思想也是在决策集合(队列)中及时排除一定不是最优解的选择。

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