组合数学——卡特兰数

我们以一道题为例来介绍卡特兰数：

　　题目链接：满足条件的01序列

给定n个0和n个1，它们将按照某种顺序排成长度为2n的序列，求它们能排列成的所有序列中，能够满足任意前缀序列中0的个数都不少于1的个数的序列有多少个。

输出的答案对10⁹+7取模。

　　为了便于解决，我们可以把这个问题转化成：

给定一个n*n的矩阵，每一步只能往右走或者往上走，求从左下角顶点走到右上角顶点所有方案中，往右走的步数不少于往上走的步数的方案的数量，并且对10⁹+7取模。

　　我们再将目标进行一步转化：

合法路径数 = 总路径数 - 非法路径数

　　其中总路径数显然为组合数C₁₂⁶，故接下去只需求非法路径数即可。

　　我们举n=6的实例来看：

　　如下图：

　　

　　从(0,0)走到(6,6)的路径所有路径就是总路径。

　　显然，所有黑线以下的路径皆为合法路径，如图中绿线所示路径就是一条合法路径。

　　而任何一条经过红线的路径一定是非法路径，如图中蓝线所示路径。

　　那么我们将该非法路径第一次经过红线后的部分关于红线作对称，如图中黄线所示。

　　不难发现，任何一条非法路径进行如上的对称操作后终点一定是(5,7)。

　　进而又可以发现，从(0,0)到(5,7)的任何一条路径进行如上对称操作后一定是一条非法路径。

　　故从(0,0)到(5,7)的路径与非法路径构成双射。

　　那么显然，非法路径数即是组合数C₁₂⁵。

　　所以合法路径数就是C126 - C125。

　　而我们又可以发现，C_2nⁿ - C_2n^n-1 = C_2nⁿ/(n+1)。

　　这就是卡特兰数。

　　而上述该题正是卡特兰数的一个应用。

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 卡特兰数：

　　以下内容参考百度百科：卡特兰数

卡特兰数又称卡塔兰数，卡特兰数是组合数学中一个常出现在各种计数问题中的数列。以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)的名字来命名。

原理：

设h(n)为catalan数的第n项，令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递推式：

h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)*h(0) (n>=2)

例如：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2

h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5

另类递推式：

h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);

递推关系的解为：

h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,...)

递推关系的另类解为：

h(n)=c(2n,n)-c(2n,n-1)(n=0,1,2,...)

 

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 卡特兰数的常见应用：

一、出栈次序

一个栈(无穷大)的进栈序列为1，2，3，…，n，有多少个不同的出栈序列?

二、括号化

矩阵连乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？(h(n)种)

三、凸多边形三角划分

在一个凸多边形中，通过若干条互不相交的对角线，把这个多边形划分成了若干个三角形。任务是键盘上输入凸多边形的边数n，求不同划分的方案数f(n)。比如当n=6时，f(6)=14。

四、给定节点组成二叉搜索树

给定N个节点，能构成多少种不同的二叉搜索树？（能构成h(n)个）

五、n对括号正确匹配数目

给定n对括号，求括号正确配对的字符串数。