数论——乘法逆元（快速幂求法）及模运算

一、快速幂

原理：

　　快速幂的原理十分简单。

　　a^k=a^{2^0}*a^{2^1}*a^{2^2}*…a^{2^x}，其中k=2⁰+2¹+2²+…+2^x。

　　这显然是正确的。因为任何一个数都可以表示成二进制。

　　接下去利用位运算实现即可。

代码实现

　　模板题链接：快速幂

　　代码模板如下：时间复杂度O(logk)

int qmi(int a,int k,int p)
{
    int res=1%p;
    while(k)
    {
        if(k&1)res=(long long)res*a%p;
        a=(long long)a*a%p;
        k>>=1;
    }
    return res;
}

　　值得一提的是，以上代码在过程中取模，是基于模运算的运算规则。

　　模运算有一些很好的性质，以下列举四条：

• 　(a + b) % p = (a % p + b % p) % p 
• 　(a - b) % p = (a % p - b % p + p) % p 
• 　(a * b) % p = (a % p * b % p) % p 
• 　(a^b) % p = ((a % p)^b) % p 

二、快速幂求逆元

乘法逆元的定义

 若整数b，m互质，并且b|a，则存在一个整数x，使得a/b≡a∗x(mod m)，则称x为b的模m乘法逆元，记为b⁻¹(mod m)。

b存在乘法逆元的充要条件是b与模数m互质。当模数m为质数时，b^m−2即为b的乘法逆元。

　　因为在模运算中，并没有除法的性质，即没有(a/b)%p≠((a%p)/(b%p))%p，而乘法逆元便可以帮助我们将其转化成乘法形式：a/b % m=a∗x % m。

　　由乘法逆元的定义我们可以推出如下结论：

∵ a/b mod p = a * b^-1 mod p = a/b * b * b^-1 mod p

∴ b * b^-1 ≡ 1（mod p）

费马小定理

若p是一个质数，且整数a不是p的倍数（a与p互质），则有a ^p-1 ≡ 1（mod p）。

　　基于这个定理，我们就可以推出如下结论：

 ∵ a ^p-1 ≡ 1（mod p）

∴ a * a ^p-2 ≡ 1（mod p）

　　因此，结合乘法逆元的定义所得到的推论以及费马小定理，我们可以得到：a^-1 = a ^p-2（mod p）。

　　也就是说，当模数p为质数，且整数b不是p的倍数时（b与p互质），b的逆元即为b ^p-2。

代码实现

　　模板题链接：快速幂求逆元　　

　　根据上述结论，要判断b关于模数p的乘法逆元是否存在，若存在则求出之，我们便只需要计算b ^p-2即可。而这个计算利用快速幂便可以很快解决。

　　代码如下：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;

int qmi(int a,int k,int p)
{
    int res=1%p;
    while(k)
    {
        if(k&1)res=(ll)res*a%p;
        a=(ll)a*a%p;
        k>>=1;
    }
    return res;

}

int main()
{
    int n;scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int a,b;
        scanf("%d%d",&a,&b);
        if(a%b==0)printf("impossible\n");
        else printf("%d\n",qmi(a,b-2,b));
    }
    return 0;
}

应用

　　有了乘法逆元，我们在计数类问题中遇到(a/b)%p时，便可以转化成((a % p) * (b^-1 % p)) % p来计算了，这样便防止了爆int的情况出现，当然，转化的前提是必须保证b与p互质。当p是质数时，则可以进一步转化为((a % p) * (b ^p-2 % p)) % p。