数论——欧拉函数

定义

小于n的正整数中与n互质的数的数目（φ(1)=1）

通式

证明：

　　设p是N的质因子，1~N中p的倍数有p,2p,3p,…,(N/p)*p，共N/p个。

　　同理，若q也是N的质因子，则1~N中q的倍数有N/q个。

　　根据容斥原理，1~N中除去q的倍数与p的倍数后，数的个数为N - N/p - N/q + N/(pq) = N(1 - 1/p)(1 - 1/q)。

　　而要求1~N中与N互质的数的个数，只需将N的所有质因子的倍数全部除去即可。

　　利用容斥原理，因式分解后即可得到上式。

性质

（以下只列举我们需要用到的一些性质）

我们用phi(N)表示欧拉函数。

• 当N为质数时，显然phi(N)=N-1。
• 2.根据算数基本定理，N=p1^C1*p2^C2*…*pk^Ck 。设N的最小质因子为p，当p的指数为1时，phi(N)=(p-1)*phi(N/p)。

• 3. 当p的指数不为1时，同2可证得phi(N)=p*phi(N/p)。

2的证明：

　　根据欧拉函数通式，

　　phi(N)=N*(p1-1)/p1*(p2-1)/p2*…*(pk-1)/pk，

　　phi(N/p1)=N/p1*(p2-1)/p2*…*(pk-1)/pk，

　　其中p1即为N的最小质因子，比较两式即可得证。

直接法

模板题链接：欧拉函数

代码实现：

int Euler(int x)
{
    int res=x;for(int i=2;i<=x/i;i++)
    {
        if(x%i==0)
        {
            res=res/i*(i-1);
            while(x%i==0)x/=i;
        }
    }
    if(x>1)res=res/x*(x-1);

    return res;
}

线性筛法

根据前面的欧拉线性筛质数的算法（可参考本人博客：数论——质数筛法），由于它在筛选的同时也求出了每个数的最小质因子，故而在其基础上求出欧拉函数即可。

模板题链接：筛法求欧拉函数

代码如下：

typedef long long ll;
const int N = 1000010;

int n;
int prime[N],cnt,v[N];
int phi[N];

ll Euler_prime(int n)
{
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!v[i])
        {
            prime[++cnt]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(int j=1;prime[j]<=n/i;j++)
        {
            int p=prime[j];
            v[p*i]=1;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                phi[i*p]=p*phi[i];
                break;
            }
            phi[i*p]=(p-1)*phi[i];
        }
    }
    ll res=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)res+=phi[i];
    return res;
}