图论——染色法判定二分图

　　首先明确概念：

　　二分图：设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B)，则称图G为一个二分图。

　　奇数环：一个图中边数为奇数的环。

　　染色法原理：

　　首先任意取出一个顶点进行染色，和该节点相邻的点有三种情况:

　　1.如果未染色，那么继续染色此节点（染为另一种颜色）

　　2.如果已染色但和当前节点颜色不同，则跳过该点

　　3.如果已染色并且和当前节点颜色相同，返回失败(该图不是二分图)

　　明确二分图、奇数环、染色法之间的关系：

　　如果一个图中存在奇数环，那么这个图一定不是二分图；这一点显然成立。

　　如果一个图中不存在奇数环，那么这个图一定是二分图：

　　证明：用染色法。从某个点开始逐层交叉染色，在染色过程中：

　　　　若发现有某条边的两个端点着色相同，则必定存在奇数环①，与题意相矛盾。

　　　　若没有发现，则根据染色法原理，每一条边的两端着色必然不同，那么根据二分图的定义，就可知这个图是一个二分图。

　　　　①的证明：

　　　　　　不妨设这条边的两个端点着色都为1，且这两点必然是由同一个源点扩展而来。那么根据染色法原理，因为这两个点的着色相同，那么从源点到这两个点所经过的边数（假设分别为x和y）的奇偶性必然相同，那么这个环的总边数为x+y+1，由数学知识得这个数必然是奇数。　

　　　　证毕！

　　模板题链接：染色法判定二分图

　　代码如下：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int N = 100010, M = 200010;
struct Edge{
    int to,next;
}edge[M];int cnt;
int n,m;
int h[N],color[N];

void add_edge(int u,int v)
{
    edge[++cnt].to=v;
    edge[cnt].next=h[u];
    h[u]=cnt;
}

bool dfs(int u,int c)
{
    color[u]=c;
    for(int i=h[u]; ~ i;i=edge[i].next)
    {
        int to=edge[i].to;
        if(color[to]==c)
        {
            return false;
        }
        else if(!color[to]&&!dfs(to,3-c))return false;
    }
    return true;
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    memset(h,-1,sizeof h);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int a,b;scanf("%d%d",&a,&b);
        add_edge(a,b);add_edge(b,a);
    }
    bool flag=true;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(!color[i])
        {
            if(!dfs(i,1))
            {
                flag=false;
                break;
            }
        }
    }
    if(flag)printf("Yes\n");
    else printf("No\n");
}