动态规划——背包问题汇总
一.0/1背包
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因为二维数组的动规维护极其简单，这里就不再详述了。
二维数组降低空间开销的方法是使用滚动数组，可以将空间复杂度从O(nm)降低为O(m)，此处也不赘述。
直接讲讲一维数组维护的思路：
先看二维数组动规的状态转移方程：
F[i,j]=max{F[i-1,j],F[i-1,j-Vi]+Wi(if j>=Vi)}
边界：F[0,0]=0；目标：F[n][m]
我们发现，对于每一层i，数组的维护过程中仅是j的值在改变，故可以直接将数组的第一维省略。
那么状态转移方程就变成：F[j]=max{F[j-Vi]+Wi(if j>=Vi)}
但这里有一个注意点，就是循环的顺序问题。第一层i的1~n循环自然没问题，主要是第二层的j，必须是采用倒序循环m~V[i]。
原因是F[j]的值是与F[j-Vi]有关的，若采用正序循环，那么在更新到这一层的F[j]时，所关心的F[j-Vi]已经是这一层的了，而不是上面二维中所需的第i-1层（也就是上一层）了。
代码实现如下：时间复杂度O(nm)
事先说明一下：本文所有代码中的读取均使用快读，下面先贴一下快读代码：
inline int read() { int x=0,f=1;char ch=getchar(); while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();} while(ch<='9'&&ch>='0')x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar(); return x*f; } int zero_one_knapsack() // 0/1背包 { int const N = 1000+10; int v[N],w[N],f[N]; memset(f,0,sizeof(f)); int n=read(),m=read(); for(int i=1;i<=n;i++)v[i]=read(),w[i]=read(); for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=m;j>=v[i];j--) f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]); return f[m]; }
二.完全背包
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类似于0/1背包，当采用正序循环时，每种物品就可以使用无限次了。
话不多说，直接上代码：
int full_knapsack() // 完全背包 { int const N = 1000+10; int v[N],w[N],f[N]; memset(f,0,sizeof(f)); int n=read(),m=read(); for(int i=1;i<=n;i++)v[i]=read(),w[i]=read(); for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=v[i];j<=m;j++) f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]); return f[m]; }
三.多重背包
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最直接的方法是把第i种物品看成独立的Si个物品，转化为共有ΣCi(i=1~n)个物品的0/1背包问题进行计算，时间复杂度O(M*ΣCi)。
这种方法把每种物品拆成了Si个，效率较低。
代码如下：
int multiple_knapsack_i() // 多重背包I { int const N = 1000+10; int v[N],w[N],s[N],f[N]; memset(f,0,sizeof(f)); int n=read(),m=read(); for(int i=1;i<=n;i++)v[i]=read(),w[i]=read(),s[i]=read(); for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=s[i];j++) for(int k=m;k>=v[i];k--) f[k]=max(f[k],f[k-v[i]]+w[i]); return f[m]; }
下面介绍二进制优化算法：
众所周知，任何整数都可以表示为若干个2的整数次幂相加。所以我们可以将每种物品的Si个打包成若干组，每一组的数量取值为：1,2,4,8，…，2k-1,sum；sum的作用是使得这组数的和的最大值恰好为Si。
那么就可以把每种物品分成log2Si个，效率较高。
代码如下：
int multiple_knapsack_ii() // 多重背包II 二进制优化 { int const N = 1010*11, M = 2010; int v[N],w[N],f[M]; memset(f,0,sizeof(f)); int n=read(),m=read(); int cnt=0; for(int i=1;i<=n;i++) { int a=read(),b=read(),s=read(),k=1; while(k<=s) { v[++cnt]=a*k; w[cnt]=b*k; s-=k;k<<=1; } if(s) { v[++cnt]=a*s; w[cnt]=b*s; } } for(int i=1;i<=cnt;i++) for(int j=m;j>=v[i];j--) f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]); return f[m]; }
四.分组背包
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有了上面几个背包模型，分组背包也是极其简单，但有几个注意点。
首先是倒序循环，其次，对于每一组内Si个物品的枚举，k应放在j的内层，这是因为每一组内至多选择一个物品，若把k至于j的外层，就会在F数组的转移上产生累积，最终会选择超过1个物品。
从动规的角度看，i是“阶段”，i与j共同构成“状态”，而k是“决策”，在第i组内选择哪个物品，这三者的顺序绝对不能混淆。
代码如下：
int grouping_knapsack() { int const N = 1000+10; int v[N][N],w[N][N],s[N],f[N]; memset(f,0,sizeof(f)); int n=read(),m=read(); for(int i=1;i<=n;i++) { s[i]=read(); for(int j=1;j<=s[i];j++) v[i][j]=read(),w[i][j]=read(); } for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=m;j>=0;j--) for(int k=1;k<=s[i];k++) if(j>=v[i][k])f[j]=max(f[j],f[j-v[i][k]]+w[i][k]); return f[m]; }
最后说一句，动规思想解决背包问题最需要注意的就是循环的嵌套，必须要以物品->体积->决策的顺序。
