1226. 包子凑数 数学 dp 完全背包

小明几乎每天早晨都会在一家包子铺吃早餐。

他发现这家包子铺有 N 种蒸笼，其中第 i 种蒸笼恰好能放 Ai 个包子。

每种蒸笼都有非常多笼，可以认为是无限笼。

每当有顾客想买 X 个包子，卖包子的大叔就会迅速选出若干笼包子来，使得这若干笼中恰好一共有 X 个包子。

比如一共有 3 种蒸笼，分别能放 3、4 和 5 个包子。

当顾客想买 11 个包子时，大叔就会选 2 笼 3 个的再加 1 笼 5 个的（也可能选出 1 笼 3 个的再加 2 笼 4 个的）。

当然有时包子大叔无论如何也凑不出顾客想买的数量。

比如一共有 3 种蒸笼，分别能放 4、5 和 6 个包子。

而顾客想买 7 个包子时，大叔就凑不出来了。

小明想知道一共有多少种数目是包子大叔凑不出来的。

输入格式
第一行包含一个整数 N。

接下来 N 行，每行包含一个整数 Ai。

输出格式
输出一个整数代表答案。

如果凑不出的数目有无限多个，输出INF。

数据范围
1≤N≤100,
1≤Ai≤100
输入样例1：
2
4
5
输出样例1：
6
输入样例2：
2
4
6
输出样例2：
INF
样例解释
对于样例1，凑不出的数目包括：1, 2, 3, 6, 7, 11。
对于样例2，所有奇数都凑不出来，所以有无限多个。

1.判断是否INF:
由定理：n个数能凑出的最小正整数为他们的最大公约数d，如果d==1，那么可以凑出任何数（包含个数为负的情况），如果n个数的最大公约数d不为1,那么非d的倍数都凑不出来，即有INF个

2.d==1判断出是有限个的情况下，用dp,f[i][j]表示前i个数是否能凑出j

3.递推关系：f[i][j]=f[i-1][j-k(a[i])]k个相或
==>f[i][j]=f[i-1][j]|f[i][j-a[i]] //前提是j>=a[i]

一般思路，空间复杂度比较大

import java.util.*;

public class Main{
	static int N=105,d;
	static int a[]=new int [N];
	static boolean f[][]=new boolean [N][10005];//经验值：由于ai最大为100，所以凑不出的正整数最大为1e4
	static int gcd(int a,int b){
		return b==0?a:gcd(b,a%b);
	}
    public static void main(String []args){
        Scanner sc=new Scanner(System.in);
        int n=sc.nextInt();
        for(int i=1;i<=n;++i){
        	a[i]=sc.nextInt();
        	if(i==1)d=a[i];
        	else d=gcd(d,a[i]);
        }
        if(d!=1){
        	System.out.println("INF");
        	return ;
        }
        f[0][0]=true;
        for(int i=1;i<=n;++i){
        	for(int j=0;j<10005;++j){
        		f[i][j]|=f[i-1][j];
        		if(j>=a[i])f[i][j]|=f[i][j-a[i]];
        	}
        }
        int ans=0;
        for(int j=0;j<10005;++j){
        	if(f[n][j]==false)ans++;
        }
        System.out.println(ans);
    }
}

可以优化空间

import java.util.*;

public class Main{
	static int N=105,d;
	static int a[]=new int [N];
	static boolean f[]=new boolean [10005];//经验值：由于ai最大为100，所以凑不出的正整数最大为1e4
	static int gcd(int a,int b){
		return b==0?a:gcd(b,a%b);
	}
    public static void main(String []args){
        Scanner sc=new Scanner(System.in);
        int n=sc.nextInt();
        for(int i=1;i<=n;++i){
        	a[i]=sc.nextInt();
        	if(i==1)d=a[i];
        	else d=gcd(d,a[i]);
        }
        if(d!=1){
        	System.out.println("INF");
        	return ;
        }
        f[0]=true;
        for(int i=1;i<=n;++i){
        	for(int j=a[i];j<10005;++j){
        		f[j]|=f[j-a[i]];
        	}
        }
        int ans=0;
        for(int j=0;j<10005;++j){
        	if(f[j]==false)ans++;
        }
        System.out.println(ans);
    }
}