1234. 倍数问题 dp 数组 背包问题 状态压缩

众所周知，小葱同学擅长计算，尤其擅长计算一个数是否是另外一个数的倍数。

但小葱只擅长两个数的情况，当有很多个数之后就会比较苦恼。

现在小葱给了你 n 个数，希望你从这 n 个数中找到三个数，使得这三个数的和是 K 的倍数，且这个和最大。

数据保证一定有解。

输入格式
第一行包括 2 个正整数 n, K。

第二行 n 个正整数，代表给定的 n 个数。

输出格式
输出一行一个整数代表所求的和。

数据范围
1≤n≤105,
1≤K≤103,
给定的 n 个数均不超过 108
输入样例：
4 3
1 2 3 4
输出样例：
9

将题目要求的K用m来表示：

首先普通的dp：
f[i][j][k]表示：前i个数中选取j个数的和对m的余数为k的最大值.
但是空间不允许

优化（状态压缩）：
由于每种对m的余数我们只需要取前三个最大的数就可，因此可以压缩第一个维度，变成二维

因此首先对每个数求余数，然后记录下来，后面对于每种余数只取前三个数进行递推。

import java.util.*;

public class Main
{
	static int N=1005,m,INF=0x3f3f3f3f;
	static Vector<Integer> a[]=new Vector [N];
	static int f[][]=new int [4][N];
	static int b[]=new int [N];
	static int mathmod(int x){
		return (x%m+Math.abs(m))%m;
	}
	
	public static void main(String args[])
	{
		Scanner sc=new Scanner(System.in);
		int n=sc.nextInt();
		m=sc.nextInt();
		
		for(int i=0;i<m;++i)a[i]=new Vector<>();
		//还有注意这里的初始化，因为默认的0并不能作为普遍的初始值，否则在状态计算的时候会导致问题，因此需要将初始值设置为-INF.
		for(int i=0;i<4;++i)Arrays.fill(f[i], -INF);
		
		for(int i=0;i<n;++i){
			int x=sc.nextInt();
			int t=x%m;
			a[t].add(x);
		}
		
		f[0][0]=0;
		for(int i=0;i<m;++i){
			Collections.sort(a[i],Collections.reverseOrder());
			for(int u=0;u<3&&u<a[i].size();u++){
				int x=a[i].get(u);
				for(int j=3;j>=1;--j){//注意这里j只能从大到小，因为省略了第一维，但是实际上是从上一层来的，j从大到小才能保证来自上一层。
					for(int k=0;k<m;++k){
						f[j][k]=Math.max(f[j][k], f[j-1][mathmod(k-x)]+x);
					}
				}
			}
		}
		System.out.println(f[3][0]);
	}
}