BZOJ2134 luoguP1297 [国家集训队]单选错位

单选错位

【问题描述】

gx和lc去参加noip初赛，其中有一种题型叫单项选择题，顾名思义，只有一个选项是正确答案。试卷上共有n道单选题，第i道单选题有a_i个选项，这a_i个选项编号是1,2,3,…,a_i，每个选项成为正确答案的概率都是相等的。lc采取的策略是每道题目随机写上1-a_i的某个数作为答案选项，他用不了多少时间就能期望做对道题目。gx则是认认真真地做完了这n道题目，可是等他做完的时候时间也所剩无几了，于是他匆忙地把答案抄到答题纸上，没想到抄错位了：第i道题目的答案抄到了答题纸上的第i+1道题目的位置上，特别地，第n道题目的答案抄到了第1道题目的位置上。现在gx已经走出考场没法改了，不过他还是想知道自己期望能做对几道题目，这样他就知道会不会被lc鄙视了。

我们假设gx没有做错任何题目，只是答案抄错位置了。

【输入格式】

n很大，为了避免读入耗时太多，输入文件只有5个整数参数n, A, B, C, a₁，由上交的程序产生数列a。下面给出pascal/C/C++的读入语句和产生序列的语句（默认从标准输入读入）：

 

// for pascal 

readln(n,A,B,C,q[1]); 

for i:=2 to n do q[i] := (int64(q[i-1]) * A + B) mod 100000001; 

for i:=1 to n do q[i] := q[i] mod C + 1; 

 

// for C/C++ 

scanf("%d%d%d%d%d",&n,&A,&B,&C,a+1); 

for (int i=2;i<=n;i++) a[i] = ((long long)a[i-1] * A + B) % 100000001; 

for (int i=1;i<=n;i++) a[i] = a[i] % C + 1; 

 

选手可以通过以上的程序语句得到n和数列a（a的元素类型是32位整数），n和a的含义见题目描述。

【输出格式】

输出一个实数，表示gx期望做对的题目个数，保留三位小数。

【样例输入】

3 2 0 4 1

【样例输出】

1.167

【样例说明】

a[] = {2,3,1}

正确答案	gx的答案	做对题目	出现概率
{1,1,1}	{1,1,1}	3	1/6
{1,2,1}	{1,1,2}	1	1/6
{1,3,1}	{1,1,3}	1	1/6
{2,1,1}	{1,2,1}	1	1/6
{2,2,1}	{1,2,2}	1	1/6
{2,3,1}	{1,2,3}	0	1/6

共有6种情况，每种情况出现的概率是1/6，gx期望做对(3+1+1+1+1+0)/6 = 7/6题。（相比之下，lc随机就能期望做对11/6题）

【数据范围】

对于30%的数据 n≤10, C≤10

对于80%的数据 n≤10000, C≤10

对于90%的数据 n≤500000, C≤100000000

对于100%的数据 2≤n≤10000000, 0≤A,B,C,a₁≤100000000

 

洛谷链接

BZOJ链接

所求即为连续两题答案相同的个数期望

考虑每题对答案的贡献

总共不同答案个数为 ∏a_i ，第 i 题答案正确的方案数为∏a_i / ( a_{i - 1} * a_i ) * min(a_i, a_{i - 1})

因此第 i 题对答案贡献为 1 / max(a_i, a_{i - 1})

ans = ∑ 1 / max(a_i, a_{i - 1})

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
 
using namespace std;

template <typename tn> void read (tn & a) {
    tn x = 0, f = 1;
    char c = getchar();
    while (c < '0' || c > '9'){ if (c == '-') f = -1; c = getchar(); }
    while (c >= '0' && c <= '9'){ x = x * 10 + c - '0'; c = getchar(); }
    a = f == 1 ? x : -x;
}

const long long MAXN = 10000100;
long long n, A, B, C;
long long a[MAXN];
double ans;

int main() {
    read(n);
    read(A);
    read(B);
    read(C);
    read(a[1]);
    ans = 0;
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        a[i] = ((long long)a[i - 1] * A + B) % 100000001;
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        a[i] = a[i] % C + 1;
    }
    a[0] = a[n];
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        ans += (double)1 / (double)(max(a[i], a[i - 1]));
    }
    printf("%.3f\n", ans);
    return 0;
}