BZOJ-3505: [Cqoi2014]数三角形 (容斥原理+排列组合)

3505: [Cqoi2014]数三角形

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Description

给定一个nxm的网格，请计算三点都在格点上的三角形共有多少个。下图为4x4的网格上的一个三角形。

注意三角形的三点不能共线。

Input

输入一行，包含两个空格分隔的正整数m和n。

Output

输出一个正整数，为所求三角形数量。

Sample Input

2 2

Sample Output

76


数据范围
1<=m,n<=1000

HINT

 

Source

今天下午校内自测爆零了……哇的一声哭了出来QAQ 第一题黑心的秤砣竟然给了道省选题……

苦逼的laj其实20分钟就想到正解了哇，就是要用容斥原理先算出总共的个数包括合法的和不合法的，然后减掉三个点分别在同一行，同一列，还有同一条斜线上的不合法情况……然鹅laj花了2h都没写好统计在同一条斜线上的不合法情况的种类数QAQ，感觉还是陷到瓶颈里了QAQ一直都是想着那条斜线的斜率是小于0的情况，秤砣的算法在写什么鬼东西啊……还是肫的话点醒了laj，为了不与之前斜率一样的情况重复统计，这里首先固定两个点(1,1)和(x,y)然后通过gcd(x-1,y-1)+1算出这条斜线上的整点的个数，减掉固定的两个端点，剩下的就是自由的可行的点，每个点都分别代表着一种不同的情况，因为已经固定的两个点是这三个点之间距离最大的两个点，这个距离一定大于之前算的斜率相同的距离最大的两个点的距离，所以易证不会和之前算的情况重合，对于每个(1,1)到(x,y)的线段，在这个矩阵里总共有(n-x+1)*(m-y+1)条，最后统计一下即可算出答案（因为矩阵的对称性，这只是算出了线段的斜率大于0 的情况，还有对称的斜率小于0的情况，所以斜线上减掉的不合法情况数要乘二）

原来laj离真相就差那么一小步…… _(:зゝ∠)_

#include "bits/stdc++.h"
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MAX=1005;
LL n,m,ans;
LL gcd(LL x,LL y){return (y==0?x:gcd(y,x%y));}
LL c(LL x,LL y){
    LL i,j,an=1;
    for (i=1;i<=y;i++) an*=(x-i+1);
    for (i=2;i<=y;i++) an/=i;
    return an;
}
int main(){
    freopen ("nmtg.in","r",stdin);
    freopen ("nmtg.out","w",stdout);
    LL i,j,k,zt=0;
    scanf("%lld%lld",&n,&m);n++,m++;
    ans=c(n*m,3)-(n*c(m,3)+m*c(n,3));
    for (i=2;i<=n;i++){
        for (j=2;j<=m;j++){
            k=gcd(i-1,j-1); k++;
            if (k<3) continue;
            ans-=2*(k-2)*(n-i+1)*(m-j+1);
        }
    }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}