中国剩余定理
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中国剩余定理(Chinese Remainder Theorem,中国余数定理),古有“韩信点兵”、“孙子定理”、“鬼谷算”、“隔墙算”、“剪管术”、“秦王暗点兵”、“物不知数”之名,是数论中的一个重要命题。
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[编辑] 物不知数
在中国古代著名数学著作《孙子算经》中,有一道题目叫做“物不知数”,原文如下:
有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二。问物几何?
即,一个整数除以三余二,除以五余三,除以七余二,求这个整数。
三人同行七十希,五树梅花廿一支,七子团圆正半月,除百零五便得知
这个解法实际上是,首先利用秦九韶发明的大衍求一术求出5和7的最小公倍数35的倍数中除以3余数为1的最小一个70(这个称为35相对于3的数论倒数),3和7的最小公倍数21相对于5的数论倒数21,3和5的最小公倍数15相对于7的数论倒数15。然后
233便是可能的解之一。它加减3、5、7的最小公倍数105的若干倍仍然是解,因此最小的解为233除以105的余数23。
附注:这个解法并非最简,因为实际上35就符合除3余2的特性,所以最小解是: 最小解加上105的正整数倍都是解。
[编辑] 形式描述
以上解法若推广到一般情况,便得到了中国剩余定理的一个构造性证明。
一般地,中国剩余定理是指若有一些两两互质的整数 ,则对任意的整数:a1,a2,...an,以下联立同余方程组对模
有公解:
[编辑] 克罗内克符号
为了便于表述,对任意的正整数用一个常用函数ζi,j表示,称之为克罗内克符号(Kronecker).定义:
使用该符号,即可给出上述一般同余方程组的求解过程,分两步完成
- 对每个
,先求出正整数bi满足
,即所求的bi满足条件:
,但被每个
整除。其求法如下:记
,根据条件
两两互素,可知ri和mi也互素,故存在整数ci和di使得rici + midi = 1.令bi = rici,则对每个
,相对应的mj显然整除bi,并且
。由此表明bi即为所求。
- 对于前述所求的bi,令
,则
,这说明x0为上述同余方程组的一个解,从而所有的解可表示为
,其中的n可以取遍所有的整数。