损失函数

　　损失函数（loss function）是用来估量你模型的预测值f(x)与真实值Y的不一致程度，它是一个非负实值函数,通常使用L(Y, f(x))来表示，损失函数越小，模型的鲁棒性就越好。损失函数是经验风险函数的核心部分，也是结构风险函数重要组成部分。模型的结构风险函数包括了经验风险项和正则项，通常可以表示成如下式子：

其中，前面的均值函数表示的是经验风险函数，L代表的是损失函数，后面的 $Φ$

$Φ$ $Φ$

$Φ$ 正则化（Regularization）

　　机器学习中几乎都可以看到损失函数后面会添加一个额外项，常用的额外项一般有两种，一般英文称作-norm和-norm，中文称作L1正则化和L2正则化，或者L1范数和L2范数。

L1正则化和L2正则化可以看做是损失函数的惩罚项。所谓『惩罚』是指对损失函数中的某些参数做一些限制。对于线性回归模型，使用L1正则化的模型建叫做Lasso回归，使用L2正则化的模型叫做Ridge回归（岭回归）。下图是Python中Lasso回归的损失函数，式中加号后面一项即为L1正则化项。

lasso regression

下图是Python中Ridge回归的损失函数，式中加号后面一项即为L2正则化项。

ridge regression

一般回归分析中回归表示特征的系数，从上式可以看到正则化项是对系数做了处理（限制）。L1正则化和L2正则化的说明如下：

L1正则化是指权值向量中各个元素的绝对值之和。
L2正则化是指权值向量中各个元素的平方和然后再求平方根（可以看到Ridge回归的L2正则化项有平方符号）。

一般都会在正则化项之前添加一个系数，Python中用a表示，一些文章也用a表示。这个系数需要用户指定。

那添加L1和L2正则化有什么用？下面是L1正则化和L2正则化的作用，这些表述可以在很多文章中找到。

L1正则化可以产生稀疏权值矩阵，即产生一个稀疏模型，可以用于特征选择。
L2正则化可以防止模型过拟合（overfitting）；一定程度上，L1也可以防止过拟合。

稀疏模型与特征选择

稀疏矩阵的概念

在矩阵中，若数值为0的元素数目远远多于非0元素的数目时，则称该矩阵为稀疏矩阵。与之相反，若非0元素数目占大多数时，则称该矩阵为稠密矩阵。

稀疏矩阵的特性

稀疏矩阵其非零元素的个数远远小于零元素的个数，而且这些非零元素的分布也没有规律。
稀疏因子是用于描述稀疏矩阵的非零元素的比例情况。设一个n*m的稀疏矩阵A中有t个非零元素，则稀疏因子 $δ$

上面提到L1正则化有助于生成一个稀疏权值矩阵，进而可以用于特征选择。为什么要生成一个稀疏矩阵？

稀疏矩阵指的是很多元素为0，只有少数元素是非零值的矩阵，即得到的线性回归模型的大部分系数都是0. 通常机器学习中特征数量很多，例如文本处理时，如果将一个词组（term）作为一个特征，那么特征数量会达到上万个（bigram）。在预测或分类时，那么多特征显然难以选择，但是如果代入这些特征得到的模型是一个稀疏模型，表示只有少数特征对这个模型有贡献，绝大部分特征是没有贡献的，或者贡献微小（因为它们前面的系数是0或者是很小的值，即使去掉对模型也没有什么影响），此时我们就可以只关注系数是非零值的特征。这就是稀疏模型与特征选择的关系。

L1和L2正则化的直观理解

这部分内容将解释为什么L1正则化可以产生稀疏模型（L1是怎么让系数等于零的），以及为什么L2正则化可以防止过拟合。

L1正则化和特征选择

　　假设有如下带L1正则化的损失函数：

其中是原始的损失函数，加号后面的一项是L1正则化项，是正则化系数。注意到L1正则化是权值的绝对值之和，是带有绝对值符号的函数，因此是不完全可微的。机器学习的任务就是要通过一些方法（比如梯度下降）求出损失函数的最小值。当我们在原始损失函数后添加L1正则化项时，相当于对做了一个约束。此时我们的任务变成在约束下求出取最小值的解。考虑二维的情况，即只有两个权值和，此时对于梯度下降法，求解的过程可以画出等值线，同时L1正则化的函数也可以在的二维平面上画出来。如下图：

图1 L1正则化

　　图中线是的等值线，黑色方形是函数的图形。在图中，当等值线与图形首次相交的地方就是最优解。上图中与在的一个顶点处相交，这个顶点就是最优解。注意到这个顶点的值是。可以直观想象，因为函数有很多『突出的角』（二维情况下四个，多维情况下更多），与这些角接触的机率会远大于与其它部位接触的机率，而在这些角上，会有很多权值等于0，这就是为什么L1正则化可以产生稀疏模型，进而可以用于特征选择。

　　而正则化前面的系数，可以控制图形的大小。越小，的图形越大（上图中的黑色方框）；越大，的图形就越小，可以小到黑色方框只超出原点范围一点点，这是最优点的值中的可以取到很小的值。

类似，假设有如下带L2正则化的损失函数：

同样可以画出他们在二维平面上的图形，如下：

@图2 L2正则化
图2 L2正则化

　　二维平面下L2正则化的函数图形是个圆，与方形相比，被磨去了棱角。因此与相交时使得或等于零的机率小了许多，这就是为什么L2正则化不具有稀疏性的原因。

L2正则化和过拟合

　　拟合过程中通常都倾向于让权值尽可能小，最后构造一个所有参数都比较小的模型。因为一般认为参数值小的模型比较简单，能适应不同的数据集，也在一定程度上避免了过拟合现象。可以设想一下对于一个线性回归方程，若参数很大，那么只要数据偏移一点点，就会对结果造成很大的影响；但如果参数足够小，数据偏移得多一点也不会对结果造成什么影响，专业一点的说法是『抗扰动能力强』。