MATLAB用二分法、不动点迭代法及Newton迭代（切线）法求非线性方程的根

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• MATLAB用二分法、不动点迭代法及Newton迭代（切线）法求非线性方程的根
• 一、实验原理
• 二、实验步骤
• 三、实验过程
• 1.(程序)
• 2.(运算结果)
• 3.(拓展（方法改进、体会等）)

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MATLAB用二分法、不动点迭代法及Newton迭代（切线）法求非线性方程的根

作者：凯鲁嘎吉 - 博客园
http://www.cnblogs.com/kailugaji/

一、实验原理

二、实验步骤

三、实验过程

1.(程序)

（1）二分法：求   在区间（1，2）之间的根，取

（a）bipart.m:

?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

function [x,m]=bipart(fun,a0,b0,tol) a=a0;b=b0; m=1+round(round(log((b-a)/tol))/log(2)); for k=1:m     p=(a+b)/2;         if fun(p)*fun(b)<0             a=p;     else             b=p;     end     x=p; end

(b)fun1.m:

?

1 2	function f=fun1(x) f=x^3+10*x-20;

 （2）不动点迭代法：求方程在附近的根，取

    2020/10/17   注：这里求解用的牛顿迭代法，不是不动点迭代法，不动点迭代法的MATLAB程序请参看：MATLAB实例：不动点迭代法求一元函数方程的根 - 凯鲁嘎吉 - 博客园 

（a）budong.m:

?

1 2 3 4 5 6 7 8 9

function [x,k]=budong(fun,x0,tol,m) for k=1:m     x=fun(x0);     if abs(x-x0)<tol         break;     end     x0=x; end x=vpa(x,8);

   (b)fun.m

?

1 2 3 4 5 6 7

function t=fun(x1) syms x; f=x^3-2*x-5; s=subs(diff(f,x),x,x1); x=x1; f=x^3-2*x-5; t=x-f/s;

（3）牛顿迭代法：求方程在附近的根，取

newton.m:

?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43

function x1=newton(t1,esp,m)   syms x;   fun=x^3+2*x-5;   for k=1:m       if abs(subs(diff(fun,'x'),x,t1))<esp           x1=t1;           break;       else           if subs(diff(fun,'x',2),x,t1)==0               break;               disp('解题失败！')           else               t0=t1;               t1=t0-subs(fun,x,t0)/subs(diff(fun,'x'),x,t0);               if abs(t1-t0)<esp                   x1=t1;                   break;               end           end       end   end   x1=vpa(x1,8);

2.(运算结果)

（1）二分法：

?

1 2 3 4 5

>> [x,m]=bipart(@fun1,1,2,0.0001) x =     1.5945 m =     14

(2)不动点迭代法：

?

1 2 3 4 5

>> [x,k]=budong(@fun,2,1e-5,100) x = 2.0945515 k =      4

(3)牛顿迭代法：

?

1 2 3 4

>> x1=newton(2,1e-4,20)     x1 =        1.3282689

3.(拓展（方法改进、体会等）)

对于方程的根为重根的情形，newton法求重根只是线性收敛，迭代缓慢，如果对于求重根的情形，对newton法进行改进，取

             ，

则 。用迭代法

                  

求m重根，则具有二阶收敛性，但要知道的重数m。

   计算方程的根是二重根，用newton法与改进方法求根。

源程序：

newton_biroot.m:

?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

function t=newton_biroot(x1)   syms x;   f=x^4-4*(x^2)+4;   s=subs(diff(f,x),x,x1);   x=x1;   f=x^4-4*(x^2)+4;   t=x-f/s;

biroot1.m:

?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

function t=biroot1(x1)   syms x;   f=x^4-4*(x^2)+4;   s=subs(diff(f,x),x,x1);   x=x1;   f=x^4-4*(x^2)+4;   t=x-2*f/s;

budong.m:

?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

function [x,k]=budong(fun,x0,tol,m)   for k=1:m       x=fun(x0);       if abs(x-x0)<tol           break;       end       x0=x;       x=vpa(x,8)   end   x=vpa(x,8);

运行结果：取初值为2

k	xk	newton法	改进方法
1	x1	1.75	1.5
2	x2	1.5982143	1.4166667
3	x3	1.5115099	1.4142157
4	x4	1.4644275	1.4142157

 计算4步，改进方法就已经收敛，而newton法只是线性收敛，要达到同样精度需迭代17次。

附结果：

>> [x,k]=budong(@biroot1,2,1e-5,3)

x =

1.5

x =

1.4166667

x = 

1.4142157

x =

1.4142157 

k =

     3

>> [x,k]=budong(@biroot1,2,1e-5,10)

x =

1.5

x =

1.4166667

x =

1.4142157

x =

1.4142136 

k =

     4

>> [x,k]=budong(@newton_biroot,2,1e-5,50)

x =

1.75

x = 

1.5982143 

x = 

1.5115099 

x = 

1.4644275

x =

1.439751

x =

1.4270955

x =

1.4206836

x =

1.4174559

x =

1.4158366 

x =

1.4150256

x =

1.4146197

x =

1.4144166

x =

1.4143151

x = 

1.4142643 

x =

1.414239

x =

1.4142263 

x =

1.4142199

k =

    17