MATLAB求马氏距离(Mahalanobis distance)
作者：凯鲁嘎吉 - 博客园 http://www.cnblogs.com/kailugaji/
1.马氏距离计算公式
d2(xi, xj)=(xi-xj)TS-1(xi-xj)
其中，S是总体的协方差矩阵，而不是样本的协方差矩阵。
2.matlab中现有的函数
>> x=[155 66;180 71;190 73;160 60;190 68;150 58;170 75] x = 155 66 180 71 190 73 160 60 190 68 150 58 170 75 >> Y = pdist(x,'mahal') Y = Columns 1 through 5 1.572816369474562 2.201942917264386 1.635800793960578 2.695107559788053 1.478413355546874 Columns 6 through 10 1.404831102709996 0.629126547789825 1.713111078598705 1.391260434780810 2.103238561272744 Columns 11 through 15 1.590313263839551 2.103238561272744 1.090736759616727 2.589223001191582 2.033867095735081 Columns 16 through 20 1.825496244926879 0.629126547789825 2.743712945526665 2.441925172889290 2.980237487501595 Column 21 2.793761753017197
其中，X每一行代表一个样例，X是个二维的。Y的第一个数表示x1与x2之间的马氏距离。
3.求x1与x2之间的马氏距离
>> x=[155 66;180 71;190 73;160 60;190 68;150 58;170 75] x = 155 66 180 71 190 73 160 60 190 68 150 58 170 75 >> cov=cov(x) cov = 1.0e+02 * 2.702380952380953 0.739285714285714 0.739285714285714 0.412380952380952 >> s=inv(cov) s = 0.007261927639280 -0.013018640484967 -0.013018640484967 0.047588267151168 >> a=[-25 -5]*s*[-25;-5] a = 2.473751332087140 >> sqrt(a) ans = 1.572816369474561
4.注意
计算两两马氏距离时，中间的协方差矩阵永远是总体的，而不是这两个的。所以，马氏距离很容易受总体的影响，总体一变化，两个样例之间的马氏距离就会变化。
以下叙述来自：欧氏距离 vs 马氏距离 - bluenight专栏 - CSDN博客 https://blog.csdn.net/chl033/article/details/5526337
1）马氏距离的计算是建立在总体样本的基础上的，这一点可以从上述协方差矩阵的解释中可以得出，也就是说，如果拿同样的两个样本，放入两个不同的总体中，最后计算得出的两个样本间的马氏距离通常是不相同的，除非这两个总体的协方差矩阵碰巧相同；
2）在计算马氏距离过程中，要求总体样本数大于样本的维数，否则得到的总体样本协方差矩阵逆矩阵不存在，这种情况下，用欧式距离来代替马氏距离，也可以理解为，如果样本数小于样本的维数，这种情况下求其中两个样本的距离，采用欧式距离计算即可。
3）还有一种情况，满足了条件总体样本数大于样本的维数，但是协方差矩阵的逆矩阵仍然不存在，比如A（3，4），B（5，6）；C（7，8），这种情况是因为这三个样本在其所处的二维空间平面内共线（如果是大于二维的话，比较复杂？？？）。这种情况下，也采用欧式距离计算。
4）在实际应用中“总体样本数大于样本的维数”这个条件是很容易满足的，而所有样本点出现3）中所描述的情况是很少出现的，所以在绝大多数情况下，马氏距离是可以顺利计算的，但是马氏距离的计算是不稳定的，不稳定的来源是协方差矩阵，这也是马氏距离与欧式距离的最大差异之处。
我们熟悉的欧氏距离虽然很有用，但也有明显的缺点。它将样品的不同属性（即各指标或各变量）之间的差别等同看待，这一点有时不能满足实际要求。马氏距离有很多优点。它不受量纲的影响，两点之间的马氏距离与原始数据的测量单位无关；由标准化数据和中心化数据(即原始数据与均值之差）计算出的二点之间的马氏距离相同。马氏距离还可以排除变量之间的相关性的干扰。它的缺点是夸大了变化微小的变量的作用。
5. MATLAB求两个矩阵之间的马氏距离，使用pdist2()函数
>> x=rand(4,3) x = 0.792207329559554 0.849129305868777 0.743132468124916 0.959492426392903 0.933993247757551 0.392227019534168 0.655740699156587 0.678735154857773 0.655477890177557 0.035711678574190 0.757740130578333 0.171186687811562 >> y=rand(2,3) y = 0.706046088019609 0.276922984960890 0.097131781235848 0.031832846377421 0.046171390631154 0.823457828327293 >> z=pdist2(x, y, 'mahal') z = 11.881392154588022 8.912492295829436 10.377530870286948 8.703763775002274 9.513297701500704 6.612259802538707 10.858334218503852 8.268677052674791
其中，数据X是n*d的，数据Y是m*d的，则马氏距离是n*m的矩阵，代表数据X的第i个样例与数据Y的第j个样例之间的马氏距离。
