概述
GAN（Generative Adversarial Network，生成对抗网络）是一个网络框架，它通常包括两部分，生成器（generator）和判别器（discriminator）。生成器的作用是学习真实数据的分布（或者通俗地说就是学习真实数据的特征），然后自动地生成新的数据——所以GAN实际上是生成模型。判别器的工作是区分某个数据是真实数据，还是由生成器生成的数据。从生成器和判别器的定义可以看出，二者之间存在相互“对抗”（adversary）的关系。生成器试图生成“逼真”的数据，使判别器难以分辨，而判别器试图识别出由生成器生成的数据。生成器与判别器相互作用，目标是达到纳什均衡（Nash equilibrium）的状态。也就是说，对于判别器当前的状态，生成器达到了它的最优解，而对于生成器此时的状态，判别器也得到了最好的结果。
下面我们将从多方面去了解GAN，包括它的基础理论、学习数据的方式、它的优化案例以及一些应用案例。
基础理论
GAN及其衍生出来的模型包含了很多的数学理论，涉及微积分、概率论、线性代数等，但这里先不做太多的延申，也不是讲解基础的数学知识，而只介绍原生的GAN[1]的相关理论。
生成模型
生成模型是指通过学习数据的分布，从而模拟真实数据的模型。例如，我们假设人的身高服从高斯分布，且均值是2米，那模型就能生成一群身高在2米左右的人造人，甚至能让他们都是秃顶。已知生成模型要学习数据的分布，对于连续分布（continuous distribution），有：
\begin{equation} P(b \leq x < a) = \int_b^a{p(x)} dx \nonumber \end{equation}
其中$p(·)$称为概率密度函数（probability density function）。我们以某个预设的密度函数$q(·)$或参数函数$f(·)$来模拟$p(·)$，学习数据的分布实际上是优化函数$q$的参数——例如高斯分布$N(μ,σ^2)$的参数，均值$μ$和方差$σ^2$——或f的参数，使$q$接近$p$，或$f$的输出接近于$\hat{x} \sim p(x)$。
生成模型可以分为两类，一类是显性密度模型（explicit density model），另一类是隐性密度模型（implicit density model）。显性密度模型显性地学习真实数据的分布或者分布的参数，也就是模拟出这个分布，然后用模拟的分布生成新的数据。这类模型包括最大似然模型（maximum likelihood estimator，MLE）、近似推断（approximate inference）、马尔可夫模型（Markov model）。
隐性密度模型并不需要显性的假设（explicit hypothesis），不直接学习数据的分布，而是先生成模拟数据，然后使模拟数据接近真实数据。GAN就属于隐性密度生成模型。相对于一个显性的分布，我们并不关心GAN的生成器是什么，因此它的设计所受的限制要更小。
生成器 vs 判别器
GAN中采用了生成器与判别器对抗学习的机制。生成器的操作实际上是将噪声变量/隐变量$z$（noise/latent variable）映射到模拟的数据空间$(G(z))$，其中我们自定义$z$服从某个分布$z \sim p_z (z)$，例如高斯分布$z \sim p_z (z)=N(0,I)$，而$G(·)$表示 $z$到$\hat{x}$的映射关系，也就是某个函数$f(·)$。通过这样的映射，我们就得到了生成数据$\hat{x}$，它服从分布$\hat{x} \sim p_g (\hat{x})$。真实的数据$x$服从的是分布$p_{data} \, (x)$。生成器的目标是使$p_g (\hat{x})$与$p_{data} \, (x)$接近，但我们不直接优化$p_g (\hat{x})$，而是优化$G(z)$（生成器）的参数，从而得到“逼真”的$\hat{x}$。
得到模拟数据$\hat{x}$后，GAN会让判别器$D(·)$判断数据是$\hat{x}$还是$x$。在理想状况下，对于二分类任务，$D(x)=1$而$D(\hat{x} )=0$。
目标函数
有了生成器和判别器，我们怎么训练它们呢？答案是通过目标函数。模型训练都有一个或多个目标，训练的结果是使这个或这些目标的值取到最大或最小。GAN有多种目标函数，对应不同的博弈（game）。
最大最小博弈
GAN最初的博弈采用的是最大最小博弈/零和博弈（minimax game/zero-sum game），其对应的目标函数是：
\begin{equation} \min_G{\max_D{V(D,G)}} = E_{x \sim p_{data} \, (x)} [\log{D(x)}] + E_{z \sim p_z (z)} [\log{(1 - D(G(z)))}] \label{1.1} \end{equation}
$\min_G{\max_D{V(D,G)}}$ 表示，对于判别器$D$，训练目标是使函数$V$取到最大值，因为理想状况下，$D(x)=1$且$D(G(z))=0$，而对于生成器$G$，训练目标是最小化$V$的值。另外，$E_{x \sim p_{data} \, (x)} $表示从分布$p_{data}$中采样$x$，将样本$x$带入中括号中的函数进行计算，再求它们的均值。等号右边第一项实际上是一个似然估计（likelihood estimate），就是使D对真实数据的判断尽可能正确。
关于GAN的训练，Goodfellow在原生GAN的论文$[1]$中的建议是，每更新生成器一次后更新判别器n次，否则容易过拟合（overfitting）（例如生成的人造人都是头发都非常浓密，因为判别器没见过什么世面，错误地就认为秃顶的都是人造人）。这样1对n的优化方式，可以使在生成器更新频率相对较低时，判别器保持接近最优的状态。
对于生成器，目标函数如下：
\begin{equation} \label{1.2} \min_G{V(D^*,G)} = E_{z \sim p_z (z)} [\log{(1-D^* (G(z)))}] \end{equation}
其中$D^*$为在优化生成器时，当前最优状态的判别器，因此公式$(\ref{1.2})$式表示固定$D$，通过优化$G$使$V$的值最小。
如果我们固定生成器$G$，判别器的目标函数为：
\begin{align} \max_D{V(D,G)} &= E_{x \sim p_{data} \, (x)} [\log{D(x)}] + E_{z \sim p_z (z)} [\log{(1-D(G(z)))}] \nonumber \\ &= \int_x{p_{data}\,(x) \log{(D(x))}} dx + \int_z{ p_z(z) \log{(1-D(G(z)))} } dz \nonumber \\ &= \int_x{ p_{data}\, (x) \log{(D(x))} + p_g (x) \log{(1-D(x))}} dx \label{1.3} \end{align}
其中$p_{data}\, (x)$、$p_z (z)$和$p_g (x)$为概率密度函数。因为函数在极大、极小值处导数为0，所以令公式$(\ref{1.3})$关于$D(x)$的导数为0：
\begin{align} &\frac{p_{data}\, (x)}{D^* (x)} - \frac{p_g (x)}{(1-D^* (x))} = 0 \nonumber \\[6pt] &D^* (x) = \frac{p_{data}\, (x)}{(p_{data}\, (x) + p_g (x))} \label{1.4} \end{align}
所以最优的判别器$D^*$应该满足公式$(\ref{1.4})$。
当判别器处于最优状态时，对目标函数$(\ref{1.1})$做一些变换：
\begin{align} \min_G{V(D^*,G)} &= E_{x \sim P_{data} \, (x)} [\log{\frac{2 p_{data}\,(x)}{p_{data}\,(x) + p_g(x)}}] + E_{x \sim p_g(x)}[\log{\frac{2 p_g(x)}{p_{data}\,(x) + p_g(x)}}] -2 \log{2} \nonumber \\ &= \int{p_{data}\,(x) \log{\frac{2 p_{data}\,(x)}{p_{data}\,(x) + p_g(x)}}} dx + \int{p_g(x) \log{\frac{2 p_g(x)}{p_{data}\,(x) + p_g(x)}}} dx -\log{4} \nonumber \\ &= KL(p_{data} \parallel \frac{p_{data} + p_g}{2} + KL(p_g \parallel \frac{p_{data}+p_g}{2}) - \log{4} \nonumber \\ &= 2 JS(p_{data} \parallel p_g) - \log{4} \nonumber \end{align}
\begin{equation} \label{1.5} \min_G{V(D^*,G)} = 2 JS(p_{data} \parallel p_g) - \log{4} \end{equation}
其中$KL$为KL散度（Kullback-Leibler divergence），$JS$为JS散度（Jensen-Shannon divergence），它们的定义从上面的推导可知。因为$JS$的值大于等于0，当$p_{data}=p_g$时，JS散度$JS=0$，由公式$(\ref{1.5})$可知此时生成器$G$达到最优，而此时$D^* (x)=1/2$。
非饱和博弈
(图1)
(图2)
上面的推导$(\ref{1.5})$证明了零和博弈与使$p_g$逼近$p_{data}$的目标一致。但是在模型训练初期，生成器还没学会真实数据的分布，生成的数据质量较差，与真实数据有很大差别，判别器能很容易地辨别出生成的数据。在这种情况下，$D(G(z))$的值趋于零，因此$\log{(1-D(G(z)))}$的梯度（gradient）接近零（如$(图1)$中曲线的左侧非常平缓），模型趋于饱和（saturate）。因为我们在模型参数的更新时，通常采用的是梯度下降法（gradient descent）：
\begin{equation} θ^{t+1} = θ^t - η \frac{∂V}{∂θ} \nonumber \end{equation}
当梯度为0时，参数θ不再更新，模型停止训练。
为了在训练初期能得到较大的梯度，Goodfellow在原生GAN的论文$[1]$中提出的一个方法是非饱和博弈（non-saturating game）。非饱和博弈将零和博弈中的$\log{(1-D(G(z)))}$转换为$- \log{(D(G(z)))}$。如$(图2)$所示，在训练初始阶段（曲线左侧），$D$接近0时，曲线的梯度非常大，模型没有饱和。因此，这种博弈被称为非饱和博弈。
但是非饱和博弈存在稳定性问题。根据公式$(\ref{1.5})$，对于$D^*$生成器的目标函数为：
\begin{equation} \label{1.6} E_{x \sim p_{data}\,(x)} [\log{D^* (x)}] + E_{x \sim p_g (x)} [\log{(1-D^* (x))}] = 2 JS(p_{data} \parallel p_g) - \log{4} \end{equation}
\begin{align} KL(p_g \parallel p_{data}) &= E_{x \sim p_g} [\log{\frac{p_g (x)}{p_{data}\, (x)}}] \nonumber \\ &= E_{x \sim p_g} [\log{\frac{p_g (x)/(p_g (x) + p_{data}\,(x))}{p_{data}\,(x)⁄(p_g(x) + p_{data}\,(x))}}] \nonumber \\ &= E_{x \sim p_g} [\log{\frac{(1- D^* (x))}{D^* (x)}}] \nonumber \\ &= E_{x \sim p_g} [\log{(1- D^* (x))}] - E_{x \sim p_g} [\log{D^* (x)}] \label{1.7} \end{align}
结合公式$(\ref{1.6})$和$(\ref{1.7})$：
\begin{align} E_{x \sim p_g} [- \log{D^* (x)}] &= KL(p_g \parallel p_{data}) - E_{x \sim p_g} [\log{(1- D^* (x)}] \nonumber \\ &= KL(p_g \parallel p_{data}) + E_{x \sim P_{data} \, (x)} [\log{D^* (x)}] - 2 JS(p_{data} \parallel p_g) + \log{4} \label{1.8} \end{align}
公式$(\ref{1.8})$中等号右边第一项和第二项相矛盾。第一项试图使$p_g$和$p_{data}$的KL散度尽可能小，也就是使$p_g$逼近$p_{data}$，但是第三项因为负号，试图使JS散度尽可能大，也就是让$p_g$和$p_{data}$的差异更大。
另外，非饱和博弈还有一个问题，就是会使模型趋向于生成准确度高但是多样性较差的数据，例如生成的图像虽然很逼真，但是都是一样的。导致这样的结果，是因为KL散度是不对称性（asymmetry）。观察KL散度的定义式，我们就可以发现，对于$KL(p_g \parallel p_{data})$：
当$p_g (x) \to 0$而$p_{data}\, (x) \rightarrow 1$，此时$p_g (x) \log{\frac{p_g (x)}{p_{data}\, (x)}} \rightarrow 0$，$KL$的影响趋于零；
当$p_g (x) \rightarrow 1$而$p_{data}\, (x) \rightarrow 0$，此时$p_g (x) \log{\frac{p_g (x)}{p_{data}\, (x)}} \rightarrow \infty $，$KL$的值非常大。
上面的第一种情况对应的是生成的数据多样性较差的情况，$p_g (x)$不能覆盖到所有的真实数据，在$p_{data}\, (x) \to 1$时$p_g (x)$却趋近于0。第二种反映的是生成的数据准确度较差的情况，在$p_{data}\, (x)$为0时$p_g (x)$不为零，生成了不存在的东西。$KL$的值在这两种情况下的差异，导致模型训练时第二种情况要受到更大的惩罚，因为要最小化目标函数就要使$KL$的值变小。这样，训练出来的模型就会倾向于重复地生成准确度高的安全的数据，也就是模式坍塌（mode collapse）。
最大似然博弈
除了上面两种博弈，Goodfellow在2015年的一篇论文$[2]$中还推导了另一种博弈——最大似然博弈（maximum likelihood game）。最大似然博弈与最大最小/零和博弈实际上是等价的。假设一个参数函数$f$，生成器的似然表示为：
\begin{align} J_G &= E_{x \sim p_g} [f(x)] \nonumber \\ &= \int{f(x) p_g (x)} dx \label{1.9} \end{align}
$J_G$关于$p_g$的参数$θ$的导数为：
\begin{equation} \frac{∂}{∂θ} J_G = \int{ f(x) \frac{∂}{∂θ} p_g (x)} dx \label{1.10} \end{equation}
假设$p_g (x) \geq 0$，那么$p_g (x) = \exp{(\log{p_g (x)})}，因此式$(\ref{1.10})$变换为：
\begin{align} \frac{∂}{∂θ} J_G &= \int{f(x) \frac{∂}{∂θ} \exp{(\log{p_g (x)})}} dx \nonumber \\ &= \int{f(x) \exp{(\log{p_g (x)})} \frac{∂}{∂θ} \log{p_g (x)}} dx \nonumber \\ &= \int{f(x) p_g (x) \frac{∂}{∂θ} \log{p_g (x)}} dx \label{1.11} \end{align}
另外，KL散度的梯度为：
\begin{align} \frac{∂}{∂θ} KL(p_{data} \parallel p_g) &= \int{\frac{∂}{∂θ} p_{data}\, (x) \log{\frac{p_{data}\, (x)}{p_g (x)}}} dx \nonumber \\ &= \int{ \frac{∂}{∂θ} p_{data}\, (x) (\log{p_{data}\, (x)} - \log{p_g (x)})} dx \nonumber \\ &= \int{- p_{data}\, (x) \frac{∂}{∂θ} \log{p_g (x)}} dx \label{1.12} \end{align}
为了使式$(\ref{1.11})$与式$(\ref{1.12})$相等，需要：
\begin{equation} f(x) = - \frac{p_{data}\, (x)}{p_g (x)} \nonumber \end{equation}
当判别器最后通过sigmoid函数进行二分类判断时，即当$D(y=1\mid x) = \sigma (a(x))$时：
\begin{equation} \sigma (a(x)) = \frac{1}{(1 + exp(-a(x))} \nonumber \end{equation}
根据式$(\ref{1.4})$：
\begin{equation} D^* (x) = \frac{p_{data}\, (x)}{(p_{data}\, (x) + p_g (x))} \nonumber \end{equation}
那么：
\begin{align} \frac{p_{data}\, (x) + p_g (x)}{p_{data}\, (x)} &= \frac{1}{D^* (x)} \nonumber = \frac{1}{\sigma (a(x))} \nonumber \\[6pt] &= 1 + \exp{(-a(x))} \nonumber \end{align}
最终得到：
\begin{align} \frac{p_g (x)}{p_{data}\, (x)} &= - \frac{1}{f(x)} = \exp{(-a(x))} \nonumber \\[6pt] f(x) &= - \exp{(a(x))} \label{1.13} \end{align}
其中函数$a(x) = \sigma^{-1} (D(x))，\sigma^{-1}$为sigmoid函数的反函数，即logit函数：
\begin{equation} \label{1.14} \sigma^{-1}{(D)} = \log{\frac{D}{(1-D)}} \end{equation}
将式$(\ref{1.13})$和$(\ref{1.14})$带入生成器的似然$(\ref{1.9})$，得到最大似然博弈的生成器的目标函数：
\begin{align} \max_G{V(D^*,G)} &= E_{x \sim p_g} [- \exp{\log{\frac{D^* (x)}{(1-D^* (x)}}}] \nonumber \\ &= E_{z \sim p_z} [- \frac{D^* (G(z))}{(1-D^* (G(z)))}] \label{1.15} \end{align}
目标函数$(\ref{1.15})$实际上是求最大似然，因此这种博弈被称为最大似然博弈。
三种博弈方式的目标函数的曲线如$图2$所示，零和博弈和最大似然博弈在训练初期都会遇到梯度消失（gradient vanishing）的问题。
（图2，来自：论文《nips 2016 tutorial generative adversarial networks》）
未完待续~
[1] I. Goodfellow, J. Pouget-Abadie, M. Mirza, B. Xu, D. Warde-Farley, S. Ozair, A. Courville, and Y. Bengio, (2014). “Generative adversarial nets”.
[2] I. Goodfellow, (2014). “On distinguishability criteria for estimating generative models”.
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