一道证明题

设f是R上的连续函数，且f(f(x))=x，证明：存在f(ξ)=ξ.

证明：令g(x)=x-f(x),显然g(x)是R上的连续函数.又有g(f(x))=f(x)-f(f(x))=f(x)-x,

　　　若f(x)=x恒成立，结论显然；否则存在η使得f(η)≠η，于是g(η)g(f(η))<0,由零点存在定理

　　　存在ξ∈(min{η,f(η)},max{η,f(η)}),使得g(ξ)=0，即f(ξ)=ξ.