二项式反演小记
篇幅有限，仅记录公式及极简证明。
定义
\[\begin{aligned}
&f(n)=\sum_{i=0}^n(-1)^i{n\choose i}g(i)\Leftrightarrow g(n)=\sum_{i=0}^n(-1)^i {n\choose i} f(i) & (1)
\\
&f(n)=\sum_{i=0}^n{n\choose i}g(i)\Leftrightarrow g(n)=\sum_{i=0}^n(-1)^{n+i} {n\choose i} f(i) & (2)
\\
&f(n)=\sum_{i=0}^m{i\choose n}g(i)\Leftrightarrow g(n)=\sum_{i=0}^m(-1)^{n+i}{i\choose n} f(i),m\ge n & (3)
\end{aligned}
\]
注意 \((2)(3)\) 式的 \((-1)\) 的指数可能和别处不一样，但是本质是一样的，而且我更倾向用这种表述，理由见下。
证明
\((1)\)
实际上组合意义同样而可以证明，但是并不完美。
因此从代数角度证明：
\[\begin{aligned}
&\sum_{i=0}^n (-1)^i {n\choose i} f(i)
\\
=&\sum_{i=0}^n(-1)^i{n\choose i}\sum_{j=0}^i(-1)^j{i\choose j}g(j)
\\
=&\sum_{i=0}^n(-1)^{n}\sum_{j=0}^i (-1)^{j} (-1)^{n-i}{n\choose i}{i\choose j}g(j)
\end{aligned}
\]
这里可以很容易发现不同的意义，\((-1)^{n-i}{n\choose i}\) 的意义是 \((x-1)^n\) 中 \(x^{i}\) 中的系数；而 \(i\choose j\) 表示 \((x+1)^i\) 中 \(x^{j}\) 的系数，也可以表示 \(x^i\) 中 \((x-1)^j\) 的系数。合在一起可以容易得到意义是 \((x-1)^n\) 中 \((x-1)^j\) 的系数，显然等于 \(\delta_{nj}\)，因此有：
\[\begin{aligned}
&\sum_{i=0}^n (-1)^i {n\choose i} f(i)
\\
=&\sum_{i=0}^n(-1)^{n}\sum_{j=0}^i (-1)^j (-1)^{n-i}{n\choose i}{i\choose j}g(j)
\\
=&\sum_{i=0}^n(-1)^{n}\sum_{j=0}^i (-1)^j \delta_{nj} g(j)
\\
=&\sum_{i=0}^n(-1)^{n}(-1)^i\delta_{ni} g(i)
\\
=&g(n)
\end{aligned}
\]
即证。
\((2)(3)\) 同理。
