洛谷1102导弹拦截

这一题分为两个问题，一个是一台最多能射下多少枚导弹，一个是需要多少太拦截设备，第一个问很容易知道就是求最长不递增子序列，第二问就是求最长上升子序列，我们稍微证明一下第二问，因为导弹拦截只能拦截越来越低的，所以遇到比当前高的时候就要重新加一台，最长上升子序列的长度就是至少需要的台数，子序列中每一颗导弹都不能用同一拦截器拦截。

两种做法：一种是N方的做法，我们可以发现一台设备已经拦截了K枚导弹，能否拦截第K+1枚，就要比较第K+1枚导弹和最后一枚导弹的高度，我们只要dp[i]，表示如果i作为最后一颗拦截的导弹最长有多少，它可以由dp[j]决定，j<i而且a[j]>=a[i],实际含义就是在i前面找比第i颗导弹高的导弹，然后任意一个比第i颗导弹高的导弹后面，所以存在下面的状态转移方程：

 

 

 for(int i=1;i<cnt;i++)
  for(int j=1;j<i;j++)
   if(a[j]>=a[i])
    dp[i]=max(dp[j]+1,dp[i]);

 

 

 

第二问求法类似，我们同样每种情况只考虑结尾：代码如下

 

 

#include<iostream>
using namespace std;
　int a[100001],dp[100001],dp1[100001];
int main()
{
 　　int cnt=1;
 　　while(cin>>a[cnt])
  　　cnt++;
 　　for(int i=1;i<cnt;i++) dp1[i]=1,dp[i]=1; 
 　　　for(int i=1;i<cnt;i++)
  　　　　for(int j=1;j<i;j++)
  　　　　{
   　　　　　　if(a[j]>=a[i])
   　　　　 　　　　dp[i]=max(dp[j]+1,dp[i]);
  　　　　　　 else 
    　　　　　　　　　dp1[i]=max(dp1[j]+1,dp1[i]);
 　　　　　 }
 　　int ans=0,ans2=0;
 　　for(int i=1;i<=cnt;i++)
 　　{
 　　　　 ans=max(ans,dp[i]);
  　　　　ans2=max(ans2,dp1[i]);
 　　}
 　　cout<<ans<<"\n"<<ans2; 
}

 

　　

 

第二种做法叫做在线处理，我们dp[i]代表第i颗导弹能够拦截的最大高度，维护一个单调数组，当进来的那颗导弹比最后一刻导弹低时加入队列，当比他高时，我们看它最多前面能继承的多少颗导弹，在队列中二分找到第一个比他小的数字，替代掉；

#include<iostream>
using namespace std;
int a[100001],dp[100001],dp1[100001];
//在线处理，我们考虑每个位置打那个更好，维护一个单调子序列 
int main()
{
    int cnt=0,p1=0,p2=0;
    while(cin>>a[cnt]) cnt++;
    dp[0]=a[0],dp1[0]=a[0];
    for(int i=1;i<cnt;i++)
    {
        if(dp[p1]>=a[i]) dp[++p1]=a[i];
        else
        {
            int l=0,r=p1;
            while(l<r)//在里面找第一个小于它的数 
            {
                int mid=(l+r)>>1;
                if(dp[mid]<a[i]) r=mid;
                else l=mid+1; 
            }
            dp[l]=a[i];
        }
        if(dp1[p2]<a[i]) dp1[++p2]=a[i];
        else
        {
            int l=0,r=p2;//在这里面找第一个大于等于它的数 
            while(l<r)
            {
                int mid=(l+r)>>1;
                if(dp1[mid]>=a[i]) r=mid;
                else l=mid+1;
            }
            dp1[l]=a[i];
         } 
     } 
     cout<<p1+1<<"\n"<<p2+1; 
}