面试题解(5):给出一个数n，O(1)求解1到n这些数中1出现的次数

 

    好久没更新博客了，今天也来客博一下。
    前两天在首页看到题目：给出一个数n，O(1)求解1到n这些数中1出现的次数。

 

    看到这个题目，联想到另一个题目:给出一个数n，求1到n这些数之和.哇靠，小学算术题，这不是侮辱咱的智商嘛～计算机最擅长干重复的劳动了，于是乎，潇洒地抖出了下面code，把循环交给计算机去做：

Int32 sum = 0;
Int32 number = 100;
for (Int32 i = 1; i <= number; i++)
    sum += i;

    OK，结果是正确的，思路相当地清晰，完了吗？没完！为了显示洒家精通C#，咱把循环改造下：

 for (Int32 i = 1; i <= number; sum += i++) ;

    结果依然是正确的，完了吗？完了！不过是完蛋的“完”.难道我们一定要让自己的代码使别人费解，来显示我们多牛X吗！难道我们一定要让计算机拼命地干傻活儿，来证明现在处理器的性能多NB吗！为什么我们不把能做的做好，剩下的...让那坨废铁干它该干的活儿：

 sum = number * (1 + number) / 2;

 

 

    扯远了，拉回来说“正”题：给出一个数n，求解1到n这些数中1出现的次数。
    最清晰直观的做法，就是遍历这N个数，便利N个数中的数位，累计求出1出现的次数；至于所谓的递归，没去看，也懒得去看；这里，我们先分析下这些阿拉伯数字的规律，然后根据出现1的概率来进行求解：
(1) 当n=9时，我们考虑0,1,2...9(共10个数字)，我们不难得出结论：字符'0','1'...'9'出现的概率个占1/10(即0.1);
(2) 当n=99时，我们考虑0,1,2...99(共100个数字)，十位上，'1'出现的概率个占1/10;个位上，'1'出现的概率也为1/10, 于是1出现的次数=0.1*100 + 0.1 * 100 = 20;
(3) 当n=100000000时，我们考虑0,1,2...100000000(共100000001个数字)，最高位上，'1'只可能出现1次;其余各位上，'1'出现的概率各占1/10, 于是1出现的次数=1 + (0.1*8) * 100000000 = 80000001;

 

    当然，上面都是列举的最简单的例子，但我们不难看出，'1'的出现概率的确是存在规律的。下面我们来看更复杂的例子('0','1'...'9'，下面统称为阿拉伯数字符)：设n=XYZ(其中X、Z表示零个或多个阿拉伯数字符，Y为一个阿拉伯数字)，这样XYZ就可以表示任意数字了，例如n=5可以表示为：X=Z="",Y=5；n=123456可以表示成:X="",Y=1,Z=23456或X=12345,Y=6,Z=""等6种方式。
    这里我取这种表达方式，是为了从Y上得出一个通用的统计字符出现概率的计算方法。Y为一个阿拉伯数字，所以其只能取0,1...9中的一个数字，其存在如下三种可能：
(1) Y<1
(2) Y=1
(3) Y>1

    以n=123Y45(X=123，Y在百位上，可以任意取值，Z=45)来分别讨论上面的三种情况：
(1) Y<1：(此时Y只能取0值了)，我们可以把区间[0..n]中的n+1个数分成两段区间来分析，[000000..122999]，即[000000..122999]，即[000000...(X-1)999]，
[123000..123045]，即[X000..XYZ]，
    其中第一段区间中Y位(百位)上，共(X * Pow(10, Length(Z)+1))个数字，出现'1'的概率占1/10，而第二段区间中，Y位上出现'1'的概率为0，因此可以得出结论：Y<1时，'1'在该位上出现的数量=0.1 * (X * Pow(10, Length(Z)+1))；

(2) Y=1：(此时Y只能取1值了)，我们可以把区间[0..n]中的n+1个数分成三段区间来分析，[000000..122999]，即[000000..122999]，同(1)，Y位上出现'1'的概率为1/10；
[123000..123099]，即[X000..X099]，同(1)，Y为上出现'1'的概率为0；
[123100..123145]，即[XY00..XYZ]，Y上出现'1'的概念为1，此区间工(Z+1)个数字
因此可以得出结论：Y=1时，'1'在该位上出现的数量=0.1 * (X * Pow(10, Length(Z)+1)) + (Z + 1)；

(3) Y>1：(此时Y只能取2..9中的任意一个值了)，我们可以把区间[0..n]中的n+1个数分成四段区间来分析，
[000000..122999]，即[000000..(X-1)999]，同(1)，Y位上出现'1'的概率为1/10；
[123000..123099]，即[X000..X099]，同(1)，Y位上出现'1'的概率为0；
[123100..123199]，即[X100..X199]，Y上出现'1'的概念为1，此区间共Pow(10, Length(Z))个数字；
[123200..123Y45]，即[X200..XYZ]，此时Y恒大于0，Y位上出现'1'的概率为0；
因此可以得出结论：Y>1时，'1'在该位上出现的数量=0.1 * (X * Pow(10, Length(Z)+1)) + Pow(10, Length(Z))；

 

    通过对上面3种情况的分析，我们可以看出，对于任意给定的整数n，我们都可以拆分成XYZ形式，并计算出Y位上'1'出现的数量；将Y从最高向最低位(个位)移动，可以计算出每位上'1'出现的数量，累计求和即为原题中要求的结果。Code如下：

 1//计算[1..number]中，共有多个字符c
 2private static Int64 Calc(Int64 number, char c)
 3{
 4    if (!Char.IsDigit(c) || c == '0')
 5        throw new Exception("暂只支持统计1..9出现的次数");
 6
 7    String s = number.ToString();
 8    Int32 digit = (Int32)c - 48;//将字符转换成数字(0对应的ASCII码值为48)
 9    Int64 totalCount = 0;

    for (Int32 i = 0; i < s.Length; i++)//忽略掉刚加上的前缀0
    {
        Int32 num = (Int32)s[i] - 48;
        switch (num.CompareTo(digit))
        {
            case -1://num<digit
         String preStr = s.Substring(0, i);
         totalCount += (Int64)(0.1 
                   * Math.Pow(10, s.Length - i) 
                          * (String.IsNullOrEmpty(preStr) ? 0 : Convert.ToInt64(preStr)));
                break;
            case 0: //num=digit
                String mantissa = s.Substring(i + 1);
                totalCount += 1 + (String.IsNullOrEmpty(mantissa) ? 0 : Convert.ToInt64(mantissa));
                goto case -1;
           case 1: //num>digit
                totalCount += (Int64)Math.Pow(10, s.Length-i-1);
                goto case -1;
        }
   }
   return totalCount;
}
//调用
Int64 count = Calc(number,'1');

    直接从数字n上就可以得出结果，时间复杂度O(1)。
    离开了人脑，“电脑”只是一坨废铁，别把啥东西都扔给它干，让废铁干它该干的活儿吧...

 

延伸思考：
1. 给出一个正整数n，求解1到n这些数对应的8进制中1出现的次数;
2. 给出一个正整数n，求解1到n这些数对应的16进制中A出现的次数;