在《射雕》中郭黄二人被裘千仞追到黑龙潭，躲进瑛姑的小屋。瑛姑出了一道题：数字1~9填到三行三列的表格中，要求每行、每列、及两条对角线上的和都相等。这道题难倒了瑛姑十几年，被黄蓉一下子就答出来了。 4 9 2 3 5 7 8 1 6 这就是一个最简单的3阶平面魔方。因为魔方的智力性和趣味性，很多游戏和玩具都与魔方有关，如捉放曹、我们平时玩的六面体，也成为学习编程时的常见问题。 魔方又称幻方、纵横图、九宫图，最早记录于我国古代的洛书。据说夏禹治水时，河南洛阳附近的大河里浮出了一只乌龟，背上有一个很奇怪的图形，古人认为是一种祥瑞，预示着洪水将被夏禹王彻底制服。后人称之为"洛书"或"河图"，又叫河洛图。 南宋数学家杨辉，在他著的《续古摘奇算法》里介绍了这种方法：只要将九个自然数按照从小到大的递增次序斜排，然后把上、下两数对调，左、右两数也对调；最后再把中部四数各向外面挺出，幻方就出现了。 (摘自《趣味数学辞典》) 最简单的魔方就是平面魔方，还有立体魔方、高次魔方等。对于立体魔方、高次魔方目前世界上很多数学家仍在研究，本文只讨论平面魔方。 平面魔方的一般定义：将自然数 1 到 N2 排列 N 行 N 列的方阵，使每行、每列及两条主对角线上的 N 个数的和都等于 N(N2+1)/2，这样的方阵称为 N 阶幻方。 通过搜索整理后，得到下面的算法： 对平面魔方的构造，分为三种情况：N为奇数、N为4的倍数、N为其它偶数(4n+2的形式) ⑴ N 为奇数时，最简单 (1) 将1放在第一行中间一列; (2) 从2开始直到n×n止各数依次按下列规则存放： 按 45°方向行走，如向右上 每一个数存放的行比前一个数的行数减1，列数加1 (3) 如果行列范围超出矩阵范围，则回绕。 例如1在第1行，则2应放在最下一行，列数同样加1; (4) 如果按上面规则确定的位置上已有数，或上一个数是第1行第n列时， 则把下一个数放在上一个数的下面。 ⑵ N为4的倍数时 采用对称元素交换法。 首先把数1到n×n按从上至下，从左到右顺序填入矩阵 然后将方阵的所有4×4子方阵中的两对角线上位置的数关于方阵中心作对 称交换，即a(i,j)与a(n+1-i,n+1-j)交换，所有其它位置上的数不变。 (或者将对角线不变，其它位置对称交换也可) ⑶ N 为其它偶数时 当n为非4倍数的偶数(即4n+2形)时：首先把大方阵分解为4个奇数(2m+1阶)子方阵。 按上述奇数阶魔方给分解的4个子方阵对应赋值 上左子阵最小(i)，下右子阵次小(i+v)，下左子阵最大(i+3v)，上右子阵次大(i+2v) 即4个子方阵对应元素相差v，其中v＝n*n/4 四个子矩阵由小到大排列方式为 ① ③ ④ ② 然后作相应的元素交换：a(i,j)与a(i+u,j)在同一列做对应交换(j<t或j>n-t+2), a(t-1,0)与a(t+u-1,0)；a(t-1,t-1)与a(t+u-1,t-1)两对元素交换 其中u=n/2，t=(n+2)/4 上述交换使每行每列与两对角线上元素之和相等。
