矩阵
基本概念
矩阵
基本概念
\(
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\\
\end{bmatrix}
\)称为\(m×n\)矩阵（m行n列）
- \(m==n\) 其为n阶方阵
- \(\begin{bmatrix} a_{11}\\ a_{21}\\ \cdots\\ a_{m1}\\ \end{bmatrix}\)为列向量，\(\begin{bmatrix} a_{11} &a_{12} &\cdots &a_{1n} \end{bmatrix}\)为行向量
矩阵的运算
运算
- 加减运算
所以
即\(c_{ij}=a_{ij}+b{ij}\)
- 矩阵相乘
那么，矩阵 \(C\) 为：
其中每个元素 \(c_{ij}\) 由以下公式给出：
矩阵相乘时，A的列要和B的行的数量相等
左乘和右乘：指不同的乘法顺序,AB可以说成A左乘B或B右乘A
- 幂运算
\(A^K=A*A*\cdots A\)(共K个)
4.转置transform
\(A^T\)即为A,行变成列，列变成行
5.方阵的行列式:以相同的数，相同的顺序排列成的行列式
6.\(|A|=0\)则A为奇异矩阵，否则是非奇异矩阵
运算公式
-
加法服从交换律和结合律
-
数乘（数字乘矩阵），服从分配律和交换律，结合律（数字满足）
-
矩阵相乘
- 服从分配律，结合律，一般不满足交换律，消去律
- \(AI=IA=A\)(I为单位矩阵)
- 幂运算符合指数相加，相乘
- 转置公式
- \((A^T)^T=A\) 转换两遍等于自身
- \((A+B)^T=A^T+B^T\) 用基本的运算就能证明
- \((kA)^T=kA^T\) 转置不对实数起作用
- \((AB)^T=B^TA^T\)
基本的运算能证明
从几何角度来看，矩阵乘法可以被视为线性变换的组合。转置操作可以看作是对这些变换的“反转”。因此，先对两个变换进行组合，然后再转置，等价于先转置每个变换再组合，但顺序需要反转。
结论 - \(|A^T|=|A|\)
- 方阵的行列式公式
-
\(|AB|=|A||B|\)
行列式可以被看作是一个变换的“体积缩放因子”。具体来说，对于一个线性变换（由矩阵表示），其行列式表示该变换对单位体积的缩放,当你连续应用两个变换 \(A\) 和 \(B\)（也就是先应用 \(B\)，再应用 \(A\)
$时，整体变换的体积缩放因子就是这两个变换的体积缩放因子的乘积。因此\(\det(AB)=\det(A)\cdot\det(B)\)
-
\(|\lambda A|=\lambda^n|A|\)，每一行有一个公因式\(\lambda\)共有n行，根据行列式运算法则可以得到
特殊矩阵
- 单位矩阵
- 对角矩阵
其中\(d_1,d_2,\cdots,...d_n\)为任意常数
3.三角矩阵
下三角矩阵
上三角矩阵
对于一个方阵，主元不为0，且是非奇异矩阵\(A=LU\)
4. 对称矩阵
\(A^T=A\)
5. 反对称矩阵
\(A^T=-A\)
6. 正交矩阵
\(A^TA=AA^T=I\)
7.幂零矩阵
\(A^m=0\)
9.幂等矩阵
\(A^2=A\)
10.对合矩阵
\(A^2=I\)
题型与解法
-
多个矩阵相乘，消去中间项
求\(A^n\)，若\(A=a^Tb\)
所以\(A^n=a^Tba^Tb...a^Tb\),也许\(b*a^T\)可以消去或者得到一个简单值 -
构造目标式子
\(A^2B-A-B=I\),求|B|
转化为
\((A^2-I)B=A+I\)
\((A+I)(A-I)B=A+I\)两边取行列式 -
左乘和右乘的应用，灵活使用，简化式子
逆矩阵
逆矩阵\(A^{-1}\),满足\(AA^{-1}=I\)
A可逆的充要条件\(|A|\neq0\),从线性变换的角度理解，A只有线性变换时不会降维时才可逆，否则，没有矩阵可以升维，变换回去
常用结论
-
\((A^{-1})^{-1}=A\)
-
\((A^T)^{-1}=(A^{-1})^T\)
proof:
\(I=(A^{-1} A)^T=A^T(A^{-1})^T=A^T(A^T)^{-1}\)
即\((A^T)^{-1}=(A^{-1})^T\) -
\((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)
proof:
\((AB)(AB)^{-1}=I\)
左乘\(A^{-1}\)
\(B(AB)^{-1}=A^{-1}\)
左乘\(B^{-1}\)
\((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\) -
\(|A^{-1}|=|A|^{-1}\)
proof:
\(AA^{-1}=I\)取行列式
\(|A||A^{-1}|=1\)
\(|A^{-1}|=|A|^{-1}\)
伴随矩阵
其中 \(C_{ij}\)是矩阵\(A_{ij}\)的余子式。
伴随矩阵的常用结论：
- \(AA^*=|A|E\)
proof :
令\(C=AA^*\)
\(c_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}a^*_{kj}\)
可以理解为\(A\)第i行乘\(A^*\)的第j列，而\(A^*\)是由\(A\)的伴随矩阵组成的
则\(c_{ij}\)代表一个行列式，\(c_{ij}\)即为A的i行代替j行的的行列式的值
当\(i=j\)时\(c_{ij}\)代表\(A\)，所以行列式|A|
当\(i\neq j\)时，c_{ij}第i行元素和第j行元素相等，所以行列式等于0
综上\(AA^*=\begin{bmatrix} |A| & & & & \\ & |A|& & & \\ ... &... &...&...& \\ & & &|A|& \\ \end{bmatrix}=|A|I \) - 若A可逆 则\(A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^{*},A^*=|A|A^{-1}\)
且\(A^*\)也可逆，\((A*)^{-1}=(A^{-1})^*=\frac{1}{|A|}A\)
proof:
\(AA^*=|A|I \Rightarrow A^{-1}=\frac{A^*}{|A|}=|A^{-1}|A^{*}\) - \((AB)^*=B^*A^*\)
- \((A*)^T=(A^T)^*\)
proof 将\(A^*\)用\(A^*=|A|A^{-1}\)代替计算就能证明 - \((kA)^*=k^{n-1}A^*(k \neq 0)\)
proof 同上，再利用行列式的性质 - \((A^*)^*=|A|^{n-2}A(n \geq 2)\)
proof 利用前一个定理，和\(A^*=|A|A^{-1}\)，即可证明
题型与解法
- 整体法
多个矩阵相乘，可以将一部分看作,另一部的逆，比如\(ABC=I \Rightarrow BC=A^{-1}\) - 构造
证明\(I-A\)可逆，求\((I-A)^{-1}\)，
一般题给出A的某个次方为0，或者A的次方就是0
所以可以构造\(（I+A+A^2...）× E-A\)
将形式的转变目标\(AB=I\)
3.用伴随矩阵求逆矩阵
4.可逆性判断
- \(|A| \neq 0\) 可逆
- $Ax\neq 0 $ 可逆（用反证法可以证明）
初等变换
初等变换只是一种方法，可以用来化简一些矩阵，从而方便处理
而且通过变换的矩阵，与原矩阵的秩序等价
变换矩阵
\(
\begin{bmatrix}
0& 1& 0 \\
1& 0& 0 \\
0& 0& 1
\end{bmatrix}
\)这个矩阵含义，如果右乘矩阵A，就是交换1，2列，如果左乘矩阵A，就是交换1，2行
其他的由单位矩阵交换行列而来的也是类似
求逆
\(
\begin{bmatrix}
1& 0& 0 \\
-2& 1& 0 \\
0& 0& 1
\end{bmatrix}^{-1}
=\begin{bmatrix}
1& 0& 0 \\
2& 1& 0 \\
0& 0& 1
\end{bmatrix}\)
这样一个矩阵，由单位矩阵，非对角线上的有一个值不为0的矩阵，它的逆就时不为0的值取反
矩阵消元
对于一个矩阵，我们利用变换，使对角线以下的值均为0
对角线上有多少个值不等于0，即有多少个秩序，多少个不线性相关
利用变换求逆
求矩阵A的逆
\([A|I]\)(增广矩阵)通过变换，得到\([I|A^{-1}]\)
矩阵的秩
矩阵的秩代表矩阵中有多少个向量线性无关，也可以说矩阵的向量张成的空间是多少维的
常用公式：
- \(0\leq r(A) \leq min(m,n)\)
- \(r(A^T)=r(A)\)
- 若P可逆，则\(r(PA)=(A)\) （可逆的矩阵只是变换行列，不会改变秩）
- \(r(AB)\leq r(A)+r(B)\) (B对A线性变换后的秩，不可能超过A,B中最小的秩，因为线性变换只会降维或不变)
还有些公式从这个视频中可以学习
题
如果从几何或者线性变换的角度理解了问题，那么可以很好的解决很多问题，没有特别的题型
分块矩阵
分块矩阵也是一种方法：将矩阵划分成小矩阵，每个小矩阵成为一个元素，形成的矩阵，与原矩阵等价
运算
运算的规则与之前同理，无论是加减，数乘，矩阵相乘，全服从之前的规则
常用结论
我们考虑一个分块矩阵 $ A $的形式如下：
其中 $ A_1, A_2, \ldots, A_n $ 是方阵，且 $ A_i $ 为非奇异矩阵（即可逆矩阵）。我们要证明矩阵 $ A $ 的逆矩阵 $ A^{-1} $ 的形式为：
证明
我们需要验证 $ A A^{-1} = I $，其中 $ I $是单位矩阵。
计算 $ A A^{-1} $：
进行矩阵乘法：
由于每个 \(( A_i A_i^{-1} = I_i)\)（其中 $ I_i $ 是对应的单位矩阵），因此可以得出：
因此，矩阵 ( A ) 的逆矩阵确实是由对角线上的块的逆矩阵组成的分块矩阵。
矩阵方阵
简单介绍线性矩阵方程
形式
线性矩阵方程通常可以表示为：
其中 ( A ) 和 ( B ) 是已知矩阵，( X ) 是未知矩阵。这个方程的解是一个矩阵 ( X )，使得矩阵乘法 ( AX ) 等于矩阵 ( B )。
解的存在性
- 如果 ( A ) 是可逆矩阵，则可以通过 ( \(X = A^{-1}B\) ) 直接求解。
- 如果 ( A ) 不是可逆的，解的存在性和唯一性取决于矩阵的秩（rank）和其他条件。
解的求法
- 直接法：对于小规模的矩阵方程，可以使用矩阵的逆或其他直接方法求解
