数列极限

合集 - 高数(5)

1.极限limit2024-11-11

2.数列极限2024-12-06

3.导数与微分01-044.中值定理01-195.导数的几何应用01-21

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数列极限：the limit of sequence

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定义definition

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$对于\forall \epsilon>0 ,总是\exist N\in \mathbb{N^*} 使得当n>N时，不等式|x_n-a|<\epsilon恒成立$
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即$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n=a$
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性质property

数列极限是分析中一个重要的概念，以下是数列极限的三个关键性质：唯一性、有界性和保号性。

1. 唯一性

数列的极限是唯一的。即如果数列 ( (a_n) ) 的极限存在，那么这个极限值是唯一的。

形式化表达

如果 ($\lim_{n \to \infty} a_n = L$ ) 和 ( $\lim_{n \to \infty} a_n = M$ )，那么 ( $L = M$ )。
这意味着数列的极限值不能有多个不同的值。若数列收敛，则它必须收敛到一个特定的值。

2. 有界性

如果数列 $a_n$ 收敛于某个极限 $L$，则该数列是有界的。换句话说，存在一个正数 $M$ 使得对于所有的 $n$，都有：

$$|a_n| < M$$

数列的有界性意味着它的所有项都在某个有限区间内。这是因为收敛的数列在极限附近的项会越来越接近极限值，从而不会无限增大或减小。

3. 保号性

如果数列 ( $(a_n)$ ) 收敛于某个极限 ( L )，并且在某个足够大的 ( n ) 之后，数列的所有项都保持正（或负），那么这个极限的符号也与数列的项一致。

形式化表达

• 如果存在 ( N ) 使得对于所有 ( n > N )，有 ( $a_n$ > 0 )，那么：

  $$\lim_{n \to \infty} a_n > 0$$

• 如果存在 ( N ) 使得对于所有 ( n > N )，有 ( $a_n$ < 0 )，那么：

  $$\lim_{n \to \infty} a_n < 0$$

保号性表明，如果数列的项在趋近于极限时保持某一符号（正或负），则极限值也将保持相同的符号。

常见题型

1. 求 N

在某些极限问题中，可能需要确定数列的某个项 ( N ) 的值，通常是为了使数列的极限存在或满足某个特定条件。

示例

求数列 ( $a_n = \frac{n}{n + N}$ ) 的极限 ( $\lim_{n \to \infty} a_n$ )，并确定 ( N ) 的取值范围。

solution：

$$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n + N} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{N}{n}} = 1$$

因此，极限存在且为 1，( N ) 的取值对极限值没有影响。

2. 与积分定义结合，求极限

数列的极限可以通过与积分的关系来求解，特别是当数列的项可以表示为某种积分时。
通常的步骤：
1.写成极限+求和形式
2.提取$\frac{1}{n}$
3.凑出$\frac{i}{n}$
4.写出积分并计算
示例

求极限：

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n}$$

solution：

可以将求和表达为积分的形式：

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n} = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k/n}{n} \approx \int_{0}^{1} x \, dx$$

其中$x=\frac{k}{n},dx=\frac{1}{n}$

计算积分：

$$\int_{0}^{1} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}$$

因此，极限为 ( $\frac{1}{2}$ )。

3. 单调有界性

单调有界性是判断数列收敛的重要方法。如果一个数列是单调的且有界的，那么这个数列必定收敛。

示例

证明数列 $a_n = \frac{1}{n}$ 是单调有界的，并求其极限。

solution:

• 单调性：对于任意的n ，有 $a_{n+1} = \frac{1}{n+1} < \frac{1}{n} = a_n$，因此数列单调递减。
• 有界性：显然，$a_n > 0$ 对于所有 $n$，所以数列有下界 0。

因此，由单调有界性定理可知，数列 $a_n$ 收敛。

计算极限：

$$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$$

4.递归数列

形入$x_{n+1}=f(x_n)$，就可能是递归数列

示例：

$a_1>0，a_{n+1}=\frac{3(1+a_n)}{3+a_n},\displaystyle \lim_{x \to \infty} a_n$

solution：

1. 证明有界
2. 证明单调，假设极限值为A
3. 求极限值A

证明有界

证明

我们需要证明数列 ${a_n}$ 有界，即存在上界 $M$。我们选择 $M = 2$

验证

验证$a_1$：

$$a_1 = \frac{3(1 + a_0)}{3 + a_0} \leq \frac{3(1 + 2)}{3 + 2} = \frac{9}{5} < 2$$

归纳假设

假设对于某个 n ，$a_n \leq 2$ 。

归纳步骤

证明 $a_{n+1} \leq 2$：

$$a_{n+1} = \frac{3(1 + a_n)}{3 + a_n} \leq \frac{3(1 + 2)}{3 + 2} = \frac{9}{5} < 2$$

因此，数列 ${a_n}$ 是有界的，即 $a_n \leq 2$ 对所有 n 成立。

证明单调性

计算 $a_{n+1} - a_n$

我们需要证明 ( $a_{n+1} - a_n$) 的符号。

$$a_{n+1} - a_n = \frac{3(1 + a_n)}{3 + a_n} - a_n$$

通分并整理：

$$= \frac{3(1 + a_n) - a_n(3 + a_n)}{3 + a_n} = \frac{3 + 3a_n - 3a_n - a_n^2}{3 + a_n} = \frac{3 - a_n^2}{3 + a_n}$$

单调性分析

• 如果 ( $a_n < \sqrt{3}$ )，则 ( $3 - a_n^2 > 0$)，所以 ( $a_{n+1} > a_n$ )（单调递增）。
• 如果 ( $a_n > \sqrt{3}$ )，则 ( $3 - a_n^2 < 0$ )，所以 ( $a_{n+1} < a_n$ )（单调递减）。

因此，数列是单调的：

• 当 ($a_n < \sqrt{3}$ ) 时，数列单调递增；
• 当 ($a_n > \sqrt{3}$ ) 时，数列单调递减。

求极限值 A

假设数列收敛到某个极限 A ，则：

$$A = \frac{3(1 + A)}{3 + A}$$

解这个方程：

$$A(3 + A) = 3(1 + A)$$

展开并整理得到：

$$A^2 = 3$$

因此，极限值为：

$$A = \sqrt{3} \quad \text{或} \quad A = -\sqrt{3}$$

由于 ( $a_n \geq 0$ )，所以极限值为：

$$A = \sqrt{3}$$