[NOI2014] 起床困难综合症

[题目传送

很明显是有关二进制的的题

三种位运算简单介绍

• and 即 & （按位与）
  二进制下同一位同为1，位运算后为1
  例如 \(1001 & 0111 = 0001\)
  \(1001\)
  \(&0111\)
  \(=0001\)
  \(1&1=1 1&0=1 0&1=1 0&0=0\)

• or 即 | （按位或）
  二进制下只要一位为1，位运算后为1
  例如 \(1001|0111 = 1111\)
  \(1001\)
  \(|0111\)
  \(=0001\)
  $1|1=1 1|0=1 0|1=0 0|0=0 $

• xor 即 ^ （按位异或）
  二进制下相同为0，不同为1，也有人称之为不进位加法
  例如 \(1001 ^ 0111 = 1110\)
  \(1001\)
  \(^0111\)
  \(=1110\)
  \(1^1=1 0^1=1 0^1=1 0^0=0\)

介绍完基础操作后，暴力的思路其实很好想

枚举\(1-m\)所有数，每个数都\(n\)次进行操作，然后记录最大值
（是不是很简单啊，然后你发现你就tle了）

如果涉及到二进制操作，其实可以考虑枚举二进制的每一位（毕竟最多64位）

题目要求取最大值，根据这个思路（枚举二进制的每一位），我们是不是希望最终答案的二进制的每一位都为1，就能满足取得的最大值了

那么答案的二进制位怎么来的了？

由\(1-m\)之间的某个数来的，我们只需要构造一个数满足\(1-m\)，且经过n次位运算后，能尽可能的使答案的二进制位每位为1

然而我们并不用直接构造这么一个数，只需要每次确认1或0经过n次位运算之后，此位是否为1，如果0经过n次位运算之后能变为1，那么这位数为0，否则为1，并且让\(m\)减去\(（1<<i）\) 如果看不太懂具体结合代码理解

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>

using namespace std;
const int maxn=1e5+10;
int n,m;
int t[maxn],op[maxn];
int ans=0; 
bool book(bool check,int j){//计算这一个位，经过n次位运算之后的，为1还是0 
	for(int i=0;i<n;++i){
		bool k=(t[i]>>j)&1;
		if(op[i]==1) check&=k;
		if(op[i]==2) check|=k;
		if(op[i]==3) check^=k;
	}
	return check; 
}
int main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=0;i<n;++i){
		string s;cin>>s>>t[i];
		if(s[0]=='A') op[i]=1;
		if(s[0]=='O') op[i]=2;
		if(s[0]=='X') op[i]=3;
	}
	for(int i=31;i>=0;--i){
		if(m>>i){//最大值这位有1，说明我们所求的答案这位可以为1或0 
			bool x=book(0,i),y=book(1,i);//x代表原数此位为0时，经过n次位运算为几，y同理 
			if(x>=y) ans|=x<<i;
                        //此时x>=y满足三种情况
                        //1.x=0,y=0 无论原数此位填0还是1，都最终为0，所以还是填0更加合适
                        //2.x=1,y=0 原数此位填0之后，能使最终答案更大
                        //3.x=1,y=1 原数此位无论填0还是1，都最终为1，都能使最终答案更大
                        //为什么填0更合适，如果高位填0填的越多那么，低位能选择1的可能性就更大
			else ans|=y<<i,m-=1<<i;//减去填1之后的数，保证原数小于m
		}
		else ans|=book(0,i)<<i;//此位为0，原数只能填0，最终答案只能为由0进行位运算的结果
	}cout<<ans<<endl;return 0;
}
 

总结

如果牵扯到二进制，直接暴力很有可能tle，可以考虑试着枚举位数，一般都能大大降低时间复杂度

ZFY AK IOI