有理数取余[模板]

有理数取余[模板]

简单总结几下

设p=19260817

• \(\frac{a}{b} \mod p\)

  令\(x=\frac{a}{b} (\mod p)\)

  同乘性，两边同乘\(b\)，\(x*b=\frac{a}{b}*b (\mod p)\)

  化简为 \(b*x=a(\mod p)\) （1）

  类似求线性同余方程的方法

  先考虑是否存在 \(b*x_0=1(\mod p)\)，如果存在最小正整数\(x_0\)使得式子成立

  再利用同乘性两边同乘a，\(a*b*x_0=a(\mod p)\)

  与上式（1）对比 \(x=a*x_0 (\mod p)\) 求\(a*x_0 \mod p\)即可

• \(a和b\)太大了怎么办

  快读时取模即可，取模原数并不影响值
  比如\((b\mod p)*x=a \mod p(\mod p)\)

• 无解情况

  分母为0无解

  \(1 \mod gcd(b,p)!=0\)即\(gcd(b,p)!=1\)

• code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>

using namespace std;
const int mod=19260817;
int a,b;
int read(){
	int x=0,f=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0' || ch>'9'){
		if(ch=='-') f=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0' && ch<='9'){
		x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
		x=x%mod;
		ch=getchar();
	}return x*f;
}
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
	if(!b){
		x=1,y=0;
		return a;
	}
	int d=exgcd(b,a%b,x,y);
	int temp=x;
	x=y;
	y=temp-(a/b)*y;
	return d;
}
int main(){
	a=read(),b=read();
	if(b==0){
		puts("Angry");
		return 0;
	}
	int x,y;
	int d=exgcd(b,mod,x,y);
	x=(x%mod+mod)%mod;
	printf("%lld\n",a*(long long )x %mod);return 0;	
	return 0;
}