素数判断及相关定理

素数

素数：一个整数大于1除了1和它自己，没有其他约数即为素数
数学语言：\(\forall n \in Z^+ 且 n>=2 同时只存在1|n，n|n\)
与之相反，合数的定义即为除了1和它自己还有约数

小知识：素数只有2和素奇数

素数筛法

穷举法

及枚举\((1,n)\)的所有数，如果某个数能整除则不是素数
优化：枚举区间\(（1,\sqrt n]\)
简单说明：一个数的一对因数(我们定义这对因数乘积为n)要么大于\(\sqrt n\)要么小于\(\sqrt n\)，所以只用枚举小于\(\sqrt n\)的因数枚举完即可
不存在一对因数同时小于\(\sqrt n\) 如果小于两数乘积势必小于\(n\)
举例
\(n=16\)
\(n\)的因数：\(1，16，2，8，4，4\)
分成每对\(（1，16）（2，8）（4，4）\)
只用枚举\(（1，4]\)即可

埃氏筛法

埃氏筛法的核心便是找到一个素数后，筛去这个素数的倍数，（用数组标记），因为这个素数的倍数一定不为素数（合数）
但是埃氏筛法会重复筛合数，会影响效率
比如30，发现2是素数时，会筛去30，但又发现5是素数时，又会再筛去一次

欧拉筛法

欧拉筛法便优化了埃氏筛法，使得每个合数只被筛去一次

• 先介绍一个素数定理，任一合数可以表现为若干素数积
  简单说明：一个合数一定可以分成除了1和它本身以外的因数，而其他因数可以为素数或者合数，那么合数还是可以分为素数或合数，所以不断的拆分成，直到全为素数

根据这个定理我们可以规定，一个合数可以等于它的最小质因数×某个合数或素数

合数=min(素数)×（合数或素数）

欧拉筛法会用一个数组（isprime[]）依次存放素数，此时的素数数组是递增的

那么设x=i*isprime[j]

\(isprime[j]\)一定为素数，i为素数或合数

所以假设\(isprime[j]\)为最小素因数，所以i的因数中不能有小于\(isprime[j]\)的因数（除了1）

所以只需要判断 \(i%isprime[j]==0\) 是否成立即可

当然也可以反证

假设\(i%isprime[j]==0\)

因为\(isprime[]\)是递增的

则合数\(i*isprime[j+1]=isprime[j]*（k*isprime[j+1])（k=i/isprime[j]）\)

• \(k>isprime[j]\)简单说明 因为合数被表示为最小质因数*某个合数，此时合数\(i*pirme[j]\)中，\(prime[j]\)为最小质因数，\(i\)为某个合数，根据我们的规定，i中的因数不能有小于\(prime[j]\)的，所以\(i\)的因数\(prime[j]\)和\(k\)都大于或等于\(prime[j]\)

其中\(isprime[j]<isprime[j+1]\) 所以isprime[j]为最小质因数，这个合数被isprime[j](kisprime[j+1])已经筛掉了，大于\(isprime[j]\)同理，所以不同再筛了

[线性筛模板(https://www.luogu.com.cn/problem/P3383)

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxx=100000000+10;
int s[6000000+10];
bool  isprime[maxx];
int main(){
	int n,q;
	std::ios::sync_with_stdio(0);
	cin>>n>>q;
	int top=1;
	memset(isprime,1,sizeof(isprime));
	isprime[1]=0;
	for(int i=2;i<=n;++i){
		if(isprime[i])
			s[top++]=i;
		for(int j=1;j<=top && i*s[j]<=n;++j){
			isprime[i*s[j]]=0;
			if(i%s[j]==0) break;
		}
	}
	for(int i=1;i<=q;++i){
		int pl;
		cin>>pl;
		cout<<s[pl]<<endl;
	} 
	return 0;
} 

相关定理

惟一分解定理

若整数\(a>=2\),那么a一定可以表示为若干个素数的乘积（惟一的形式）即 \(a=p_1^{a_1}*p_2^{a_2}*p_3^{a_3}*......*p_n^{a_n}(\forall p \in 素数,\forall a_i \in Z^{+})\)
例如\(48=2^4*3\)

威尔逊定理

若p为素数 则\((p-1)!=-1(\mod p)\)
威尔逊定理的逆定理同样成立
即：若某一正整数p，\((p-1)!=-1(\mod p)\)则p一定为素数
证明（见其他博客吧）（我真的证不来）

• 应用

根据威尔逊定理则\(p|((p-1)!+1)\)，利用sin函数特点，构造出一个素数函数分布曲线
\(f(n)=sin(Π*((n-1)!+1)/n)\)使函数值为0的点就是素数\(（Π为pai）\)

费马小定理

若\(p\)为素数，\(a\)为正整数，且\(gcd(a,p)=1\)则\(a^{p-1}=1(\mod p)\)

• 证明
  取\(（p-1）\)个整数\(a,2a,3a,.......,(p-1)a\),其中任一整数都不是p的倍数,且皆不同余于模p

  则构造素数P的完全剩余系

  $ P=$ {$ 1,2,.....,p-1$}

  即可构造又一个A的完全剩余系

  $ A=$ {$ a,2a,.....,(p-1)a$}

  （解释，\(gcd(a,p)=1\),\(a*x（\forall x<(p-1)）\),又因为P的完全剩余系中两两互不同余于p，则利用同乘性，A的完全剩余系两两互不同余）

  由完全剩余系定义
  \(a*2a*3a*.....*(p-1)a=1*2*3....*(p-1)(\mod p)\)
  化简
  \((p-1)!*a^{p-1}=(p-1)!(\mod p)\)
  则\(a^{p-1}=1(\mod p)\)

p为整数时\(a^p =a (\mod p)\)