最大公约数及应用

目录

1. 最大公约数
2. 最小公倍数
3. 扩展欧几里得算法
4. 求解线性同余方程

前置知识整除及同余

最大公约数GCD

最大公约数 意思为，两个及更多整数的最大的共同约数
（我们称\(GCD(x,y)\)为\(x,y\)的最大公约数）
当\(GCD(x,y)==1\)时我们称\((x,y)\)互质

辗转相除法

辗转相除法求两个数的最大公约数，又称欧几里得算法
出处：欧几里得《几何原本》
原理：\(GCD(x,y)==GCD(y,x \mod y )\)

• 证明
  \(不妨设\)x>y$ ,则x一定可以被表示成\(x=n*y+r(0<=r<y)（n为整数）\)

  当\(r=0\)时 则\(y=gcd(x,y)\)

  当\(r≠0\)时 设\(x=s*d,y=t*d(d为x,y的任一公约数)\)所以\(s,t为整数\)

  则\(r=s*d-n*t*d=d*(s-n*t)\)，而\(r=x\mod y\)

  又因为\(s，t\)为整数，所以\(s-n*t\)为整数，所以\(d=r/(s-n*t)\)，即d为r的因数

  那么此时d即为\(x,y,r(x \mod y)\)三者的约数

  所以\(x与y\)的最大公约数即为\(y与r(x \mod y)\)的公约数
  （也可以称\(x\)与\(y\)的最大公约数在\((x,y)\)的公约数集合和\(（y,x \mod y）\)的交集中）
  在有限次重复上述过程后，最终会的到\(r=0\),此时的\(y\)即为最大公约数
  ** 证毕**

更相减损术

出处：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之 ------《九章算术》
原理 ：\(gcd(x，y)=gcd(y,x-y)\) \(gcd(2x，2y)=2*gcd(x,y)\)
（这种方法个人看来可以用来求高精度的最大公约数，因为取模不好求高精度，但可以用高精度减法）

• 证明
  设\(d\)为\(x\),\(y\)的任一公约数 则\(d|x,d|y\) 所以 \(d|(x-y)\)

  所以\(d既为(x,y)的公约数集合中的任一数,也为(y,x-y)的公约数集合中的任一数，所以两者集合相等\)
  证毕

• code

int gcd(int x,int y){
    return y==0?x:gcd(y,x%y);
}

int gcd(int x,int y){
	int d;
	while(y!=0){
		d=x%y;
		x=y;
		y=d;
	}return x;
} 

最小公倍数LCM

定理：\(a,b\)两个数的最大公约数乘以他们的最小公倍数就等于a和b本身的乘积
即：\(LCM(a,b)=a*b\) \(div\) \(GCD(a,b)\)

• 证明
  设\(d=gcd(a,b)\)则\(m=a/d,n=b/d\),\(n,m\)互质（因为如果m,n不互质，那么最大公约数还能更大）
  所以\(lcm(m,n)=m*n\)(因为\(gcd(m,n)=1\),所以m,n没有其他公因数，而最小公倍数一定为两数乘积，所以\(lcm(m,n)=m*n\))
  所以\(lcm(a,b)=lcm(m*d,n*d)=d*lcm(m,n)=d*m*n=a*b\) \(div\) \(d\)
  (因为a和b的因数中一定有d,所以最小公倍数的因数一定有d)
  则\(lcm(a,b)=a*b\) div \(gcd(a,b)\)
  证毕

附练习题
求最大公约数和最小公倍数
P1029 [NOIP2001 普及组] 最大公约数和最小公倍数问题

扩展欧几里德算法

扩展欧几里德算法是用来在已知\((a,b)\)时，求解一组\((p,q)\)使得
\(p*a+q*b=gcd(a,b)\)
（解一定存在）

• 证明
  设\(d=gcd(a,b)\)
  所以\(d|p*a,d|q*b\)
  则\(d|(p*a+q*b)\)即\(d|d\)
  显然\(d|d\)成立
  所以原式成立
  证毕

因为\(gcd(a,b)=gcd(b,a \mod b)\)

所以\(p*a+q*b=gcd(b,a \mod b)=p*b+q*(a-a/b*b)=q*a+(p-a/b*q)*b\)

即可将\(a\)与\(b\)的线性组合化简为\(b\)与\(a \mod b\)的线性组合

这样反复转换之后
当\(b=0\)时 \(gcd(a,b)=a\) 此时\(p=1,q=0\)，递归返回即可

*code

int extended_gcd(int a,int b,int &p,int &q){
	int ret;temp;
	if(!b){
		x=1;y=0;
		return a;
	}
	ret=extended_gcd(b,a%b,p,q);
	temp=p;
	p=q;
	q=temp-a/b*q;
	return ret;
}

线性同余方程

定理1：对于\(a*x+b*y=c\) 该方程\(a*x==c(\mod b)\) 有整数解的充分必要条件
\(c\mod gcd(a,b)=0\) （裴蜀定理）

• 证明裴蜀定理
  设\(d=gcd(a,b)\)
  所以\(d|a*x,d|b*y\)
  则\(d|(a*x+b*y)\)即\(d|c\)
  所以原式充要条件为 \(c \mod gcd(a,b)=0\)即裴蜀定理
  证毕

根据定理1 对于方程\(a*x+b*y=c\)，我们可以用扩展欧几里德算出一组解\((x_0,y_0)\)

也就得到\(a*x_0+b*y_0=gcd(a,b)\) 两边同除以\(gcd(a,b)\)再乘\(c\)

则易得\(a*x_0*\frac{c}{gcd(a,b)}+b*y_0*\frac{c}{gcd(a,b)}=c\)

定理2：若\(gcd(a,b)=1\)且\(x_1,y_1\)为\(a*x+b*y=gcd(a,b)\)的一组解

\(x_1=\frac{x_0c}{gcd(a,b)},y_1=\frac{y_0c}{gcd(a,b)}\)

则该方程任一解\(x=x_1+b*t,y=y_1-a*t\),对\(\forall t \in Z\)都成立

根据定理2 可以求出方程所有解，实际问题一般求最小整数解

\(t=\frac{b}{gcd(a,b)},x=(x\mod t +t)\mod t\)

• code

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
	if(!b){
		x=1;y=0;return a;
	}
	int temp,ret=exgcd(b,a%b,x,y);
	temp=x;
	x=y;
	y=temp-(a/b)*y;
	return ret;
}
bool check(int a,int b,int c,int &x,int &y){
	int d=exgcd(a,b,x,y);
	if(c%d) return 0;
	int k=c/d;
	x*=k; 
	y*=k;
	return 1;
}

[模板]二元一次不定方程 (exgcd)
以这道题为例，详细分析最小值和最大值

先用扩展欧几里德算法，求出使\(ax+by=GCD(x,y)\)时\(x_0,y_0\)的值

两边同乘以c，则使\(ax+by=c\)时的值\(x_1=x_0*c/GCD(x,y),y_1=y_0*c/GCD(x,y)\)

\(ax+by=c \leftrightarrow a(x+m)+b(y+n)=c \leftrightarrow ax+by+am+bn=c （当且仅当am+bn=0时成立）\)

令\(m=\frac{t*b}{gcd(a,b)},n=-\frac{t*a}{gcd(a,b)}\)(t为任意整数)，则\(am+bn=0\)成立

则通解\(x=x_1+\frac{t*b}{gcd(a,b)},y=y_1-\frac{t*a}{gcd(a,b)}\)(易得x随t的增大而增大，y随t的增大而减小)

又因为x为正整数

则\(x>=1\) 所以\(\lceil{\frac{(-x_1+1)gcd(a,b)}{b}}\rceil<=t\)

同理\(y>=1\) 所以\(\lfloor{\frac{(y_1-1)gcd(a,b)}{a}}\rfloor>=t\)

整理得 \(\lceil{\frac{(-x_1+1)gcd(a,b)}{b}}\rceil<=t<=\lfloor{\frac{(y_1-1)gcd(a,b)}{a}}\rfloor\)
（上下取整是因为t是整数）

所以t取最小值时，x取最小值，y取最大值
t取最大值时，x取最大值，y取最小值

如果\(\lceil{\frac{(-x_1+1)gcd(a,b)}{b}}\rceil>\lfloor{\frac{(y_1-1)gcd(a,b)}{a}}\rfloor\)
则不存在合法解使x，y为正整数
否则
存在合法解
关于解的个数，\(\lfloor{\frac{(y_1-1)gcd(a,b)}{a}}\rfloor-\lceil{\frac{(-x_1+1)gcd(a,b)}{b}}\rceil\)

需要注意的地方
用ceil和floor的时候记得是\(-x_1+1.0/m\),\(y_1-1.0/n\),（主要是精度的问题）

\(maxt-mint+1\)为解的个数（区间内数的个数）

参考文献

信息学奥赛之数学一本通
在此 鸣谢作者

感谢@kkksc0100，百忙中回答蒟蒻的问题