二分法
二分
二分顾名思义
其实就不断的把东西分为两半
二分自古就有
- 一尺之棰，日取其半，万世不竭 -----《庄子·杂篇·天下》
二分在数学中，也有应用，例如零点存在性定理
\(设y=f(x) 如果f(x)在 [a,b]上连续 且 f(a)*f(b)<0 则[a,b]之间存在零点\)
只需要通过不断的二分就可以找到零点
今天主要介绍两种二分的应用
二分查找
二分查找：是通过二分的方法来查找
- 比如在一个升序序列查找一个数是否存在
假设一个升序
1，5，8，9，11，20，33
我们要查找一个数为1
先将1与中间数9相比较，1比9小，那么1为一定在以9为分割点，分成的两个区间的左区间[1,5,8]
再将1与区间[1,5,8]的中间数5相比较，1小于5，那么一定在以5为分割点，分成两个区间的左区间[1]
最后找到1
code
int l=1,r=7,mid;
int s[9]={0,1,5,8,9,11,20,33};
int k=1//我们要查找的数
while(l<=r){
mid=(l+r)>>1;//等价于(l+r)>>1
if(k<=s[mid]) r=mid-1;
else l=mid+1;
}
if(s[l]==k) printf("存在");
else printf("不存在");
二分答案
二分答案，二分的对象是答案，但二分的对象有具有单调性
所以只有当答案具有单调性的时候可以进行二分
而且需要能找出答案的范围
最后就是check(答案)，判断最终答案在左区间还是右区间最终得到答案
例题选讲
一般看见这种最大值的最小值也有可能用二分答案
首先我们需要确定具有单调性
求得相邻两头牛最近距离得最大值，因为距离嘛，要么长要么短，短的变到长，具有单调性实锤
那范围了？
最小值：可以为两个隔间的最小距离
最大值：两个相距最远得隔间得差
很容易看出来
（稍微讲下原因，懂得同学就往后看把
- 原因
最小值应该容易理解吧，如果最小值比相邻两个隔间最小值还小，那根本不存在其他隔间能放牛
比如两头牛
三个隔间坐标
1，3，9
最小值为2，如果此时你设最小值为1，那根本不存在这样一个答案
既然是答案，那么一定具有答案的性质，能有解
借用刚刚的例子最大值为8
答案还能取9吗？显然不能，因你取9的话，此时也不存在两个隔间相距离为9
check环节
举栗
1，2，4，8，9
最小值：1
最大值：8
即\(ans∈[1,8]\)
取中间值 4
从第1个隔间开始放1头牛，找到
下1个隔间>=4四的隔间放第2头牛，即在第4个隔间放
结果你会发现下1头牛，没有位置可放了，这说明什么？
这说明最近距离太大了，并不满题意（好好理解一下
则答案一定在[1,3]之间（因为如果距离>=4，是不是能放的牛可能更少
取中间值 2
从第1个隔间开始放第1头🐂
那么第2头🐂则会放在第3个隔间
第3头🐂会放在第5个隔间
放完了所有🐂，也满足题意
那么这个是不是最终答案了？
（还有待观察
好既然最近距离为2时一定满足其条件，那么距离比2小的也同样满足（这里需要思考一下，其实也挺简单~
那比2大的距离可不可能满足条件?
(**有可能**，此时距离2满足题意只能说明距离2确实是一种答案，但注意此时[2,4]之间也可能存在答案，也许多放一格距离也可能满足题意）
此时取[2,3]中间值3
从第1个隔间开始放第1头🐂
那么第2头🐂则会放在第3个隔间
第3头🐂会放在第5个隔间
放完了所有🐂，也满足题意
此时区间为[3]
此时就找到最近距离的最大值
回放一遍我们模拟过程
判断其答案是否满足题意，排除不满足的区间，留下满足的区间，最终找到最终答案
- code
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
using namespace std;
int n,c;const int maxn=1e5+10;
int m[maxn];
int st[maxn],top=1;
long long l=1e9,r;
bool check(long long mid){
int tot=1;st[top]=m[1];top=1;
for(int i=2;i<=n;++i)
if(m[i]-st[top]>=mid) ++tot,st[++top]=m[i];
return tot>=c;
}
int main(){
cin>>n>>c;
for(int i=1;i<=n;++i){
cin>>m[i];
if(i>=2) l=min((long long)m[i]-m[i-1],l);
}
sort(m+1,m+1+n);r=m[n]-m[1];
long long mid;
while(l<=r){
mid=(l+r)>>1;
if(check(mid)) l=mid+1;
else r=mid-1;
}cout<<r<<endl;return 0;
}
总结
二分查找
查找的关键字一定具有单调性
（如果二分对象无序，那么需要排序，排序的学习笔记
二分答案
- 答案具有单调性
2.找出答案的上下界（也就是最小值及最大值）
3.通过二分排除非答案区间，在可能的答案种继续二分
其实二分本质也是枚举，在一种特殊具有单调性序列或其他具有单调性东西的一种高效枚举
