NOIp 数据结构专题总结 (1)：STL、堆、并查集、ST表、Hash表

系列索引：

• NOIp 数据结构专题总结 (1)
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STL structure

STL 在 OI 中的运用：https://oi.men.ci/stl-in-oi/

std::vector

#include <vector>
std::vector<type> v;
v.push_back(x);
v.pop_back();

int *a = new int[N];

std::bitset

#include <bitset>
std::bitset<size> bs;

神似 bool 数组。

SAO操作：

std::bitset<N> g[N]; // store a graph, O(n^2/32)

std::map

#include <map>
std::map<typeA, typeB> mp;
mp[x] = y;

map<int,bool> g[n];
g[x][y] = true;
map<int,bool>::iterator it;
for (it=g[x].begin(); it!=g[x].end(); ++it)
     it->first, it->second

std::queue

#include <queue>
std::queue<type> q;
q.push(x);
q.pop();
x = q.front();

std::stack

#include <stack>
std::stack<type> s;
s.push(x);
s.pop();
x = s.top();

std::deque

#include <queue> / #include <deque>
std::deque<type> dq;

std::priority_queue

#include <queue>
std::priority_queue<type> pq; // default: greater first
std::priority_queue<int, std::vector<int>, std::greater<int> > pq; // lower first
struct type { friend bool operator < (type a, type b) {return ...;} };
struct cmp { bool operator() (type a, type b) {return ...;} };
std::priority_queue<type, std::vector<type>, cmp> pq;

std::set

#include <set>
std::set<type> st;			// 会自动去重
std::multiset<type> st2; 	// 不去重

时间复杂度每次操作 \(O(\log{n})\)。

堆 Heap

Pure

复杂度均摊 \(O(\log{n})\).

void put(int x) {
    int now = ++heap_size, next;
    heap[heap_size] = x;
    while (now > 1) {
        next = now >> 1;
        if (heap[now] >= heap[next]) break; // lower root
        swap(heap[now], heap[next]);
        now = next;
    }
}

int get(int x) {
    int now = 1, next, res = heap[1];
    heap[1] = heap[heap_size--];
    while ((now << 1) <= heap_size) {
        next = now << 1;
        if (next < heap_size && heap[next+1] < heap[next]) next++;
        swap(heap[now], heap[next]);
    }
    return res;
}

堆的初始化：新建一个空堆，把这些元素依次加进堆，时间 \(O(n\log{n})\)。如果把这些元素 random_shuffle 一下再加进来，期望时间 \(O(n)\)。可以先随意把这些元素放进完全二叉树，再考虑从底向上令每个子树满足堆性质。

堆的删除：因为我们只关心堆顶的元素，我们可以把被删掉的元素暂时留在堆中，并保证当前堆顶的元素未被删除即可。一种实现方法是再开一个堆存储被删除但留在原堆中的元素，一旦两个堆堆顶相等，就一起弹出堆顶。总时间复杂度 \(𝑂(𝑛\log{𝑛})\)，这个方法也适用于 std::priority_queue。

STL <algorithm>

void put(int x) {
	heap[++heap_size] = x;
    // greater heap
    push_heap(heap + 1, heap + heap_size + 1);
    // lower heap
    push_heap(heap + 1, heap + heap_size + 1, greater<int>());
}

int get() {
    // greater heap
    pop_heap(heap + 1, heap + heap_size + 1);
    // lower heap
    pop_heap(heap + 1, heap + heap_size + 1, greater<int>());
    return heap[heap_size--];
}

STL std::priority_queue

(refer to above)

并查集 Disjoint Set

路径压缩优化：查询一个元素时，将其到根路径上所有元素的父亲更新为当前的根。时间复杂度 \(\approx O(n)\)（均摊每次 \(O(1)\)）。只用路径压缩优化的并查集实际上能被构造数据卡到 \(O(n\log{n})\)。

for (int i=1; i<=n; i++) fa[i]=i;

int find(int x) {return fa[x]==x ? x : fa[x]=find(fa[x]); }
void join(int x, int y) {x=find(x),y=find(y); fa[x]=y; }

带权并查集：在集合的根上加一个值为 \(x\) 的标记。对于一般的带权并查集，一个元素到根路径上的标记之和就是这个元素的实际权值。路径压缩时需要注意路径压缩对标记效果的影响。

int f[], sum[];

int fa(int x) {
	if (f[x]==x) return x;
	else {
		int r=fa(f[x]);
		sum[x]+=sum[f[x]];
		return f[x]=r;
	}
}

int main() {
	int n, m;
	while (~scanf("%d%d", &n, &m)) {
		for (int i=0; i<=n; ++i) fa[i]=i;
		for (int i=1, x, y, z; i<=m; ++i) {
			scanf("%d%d%d", &x, &y, &z);
			int fx=fa(x), fy=fa(y);
			if (fx!=fy) f[fy]=fx, sum[fy]=sum[x]-sum[y]+z; // 类似向量运算
			else if (sum[y]-sum[x]!=z) ++ans; // 发现矛盾
		}
		printf("%d\n", ans);
	}
	return 0;
}

带权并查集可参考 Link 。

按秩合并优化：“秩”即并查集维护的有根树的深度。合并两个集合时，可以选择深度较小的有根树连接到另一棵上，深度较大的有根树深度会发生改变仅当两树深度相等。如果我们定义一个点的树深度为 \(0\)，在这种合并策略下，深度为 \(i\) 的有根树至少有 \(2^i\) 个元素，那么每次操作的时间复杂度显然不超过 \(O(\log{n})\)，总时间复杂度 \(O(n\log{n})\)。显然可以在按秩合并的同时采用路径压缩进一步优化，时间复杂度 \(O(n\cdot\alpha(n))\)。

for (int i=1; i<=n; i++) fa[i]=i;

int find(int x) {return fa[x]==x ? x : fa[x]=find(fa[x]); } //有路径压缩

void join(int x, int y) {
    x=find(x),y=find(y);
    if (rank[x] < rank[y]) fa[x]=y;
    else {fa[y]=x; if(rank[x]==rank[y]) ++rank[x]; }
}

操作撤消：未使用任何优化时，直接将合并操作时连接的边删去即可。使用路径压缩优化后，一次合并操作连接的边可能被压缩掉，难以撤销；如果只使用按秩合并优化，显然不会影响撤销操作。支持撤销操作的并查集可以做到 \(O(n\log{n})\) 的总时间复杂度。

按大小合并优化：每次将较小的集合的根连接到较大的上。考虑一个元素到根的路径上，每经过一条边，说明其所在集合的大小至少扩大一倍，显然不超过 \(O(\log{n})\) 条。时间复杂度 \(O(n\log{n})\)。

ST 表 Sparse Table

Range Maximum/Minimum Query：用 \(f(k,i)\) 表示 \([i,i+2^k-1]\) 的最大值，则有 \(f(k+1,i)=\max\{f(k,i),f(k,i+2^k)\}\)（最小值同理）。查询 \([l,r]\) 时，我们找到最小的 \(k\) 满足 \(2^{k+1}\ge r-l+1\)，由于重复统计不影响最值，\(\max⁡[l,r]=\max\{f(k,l),f(k,r-2^k+1)\}\)。预处理 \(O(n\log{n})\)，每次查询 \(O(1)\)。

inline void ST() {
    for (int i=1; i<=n; i++) f[i][0]=data[i];
    for (int j=1; (1<<j)<=n; ++j)
        for (int i=1; i+(1<<j)-1<=n; ++i)
        	f[i][j] = max(f[i][j-1], f[i+(1<<j-1)][j-1]);
}

inline int query(int l, int r) {
    int k=0;
    for (; (1<<k)<=(r-l+1); ++k); --k;
    return max(f[l][k], f[r-(1<<k)+1][k]);
}

求 LCA：ST 表 + DFS 序。 (refer to Graph Theory)

Hash 表

将复杂信息按其 Hash 值存储到对应位置上。数组 + 链表。每次期望时间 \(O(1)\)。

自然溢出：高效，省去取模。

保证正确性：

• 模数尽量采用质数，避免被数论相关性质影响。
• 双 Hash：用两种不同的方式求出 Hash 值分别对比。
• 混合 Hash：乘法、加法、异或、取模。
• 随机 Hash 中用到的常数，例如模数、乘数等，避免针对。

杂项

Huffman 树和 Huffman 编码：参考 Link 。